2025年中考数学模拟试题（一轮复习专用）数学竞赛题型解析与应用
一、选择题
要求：在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a4+a7=36，则a3的值为
A.9
B.12
C.15
D.18
2.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(2a+1)=f(a-1)，则a的值为
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题
要求：将正确答案填入空格内。
3.在△ABC中，AB=AC，若∠B=60°，则∠C的度数是____。
4.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，若OA=2，OB=3，则该一次函数的解析式为y=____。
三、解答题
要求：请写出解答过程。
5.（1）已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1+a2+a3=21，a2+a3+a4=63，求该等比数列的首项a1和公比q。
（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n^2+2n，求第10项an的值。
四、应用题
要求：根据题意，列出方程或方程组，并求解。
6.一个长方形的长是宽的2倍，如果长增加10cm，宽减少5cm，那么长方形的面积将增加100cm2。求原来长方形的长和宽。
五、证明题
要求：证明下列各题。
7.在△ABC中，已知∠A=∠B，AD是BC边上的中线，证明：∠BAD=∠CAD。
六、综合题
要求：综合运用所学知识解决问题。
8.（1）某校计划在矩形操场的四周种树，操场长为60米，宽为40米。若每隔5米种一棵树，求共需种植多少棵树？
（2）在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为B，求点B的坐标。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.答案：B
解析思路：由等差数列的性质知，a1+a7=a4+a4=2a4，因此3a4=36，解得a4=12。由于公差为2，所以a3=a4-2=10。
2.答案：A
解析思路：由f(2a+1)=f(a-1)得2(2a+1)^2-3(2a+1)+1=2(a-1)^2-3(a-1)+1，化简得8a^2+4a-3=2a^2-2a，进一步化简得6a^2+6a=0，解得a=0。
二、填空题
3.答案：60°
解析思路：由等腰三角形的性质知，底角相等，∠B=60°，∠A=∠C，三角形内角和为180°，所以∠C=180°-2∠B=180°-2×60°=60°。
4.答案：y=3x+6
解析思路：由于OA=2，OB=3，点A在x轴上，点B在y轴上，所以A(2,0)，B(0,3)。将A、B两点的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b中，得2k+b=3，b=3，解得k=0，b=3，所以一次函数的解析式为y=3x+6。
三、解答题
5.答案：
（1）a1=1，q=3
解析思路：由等比数列的性质知，a2=a1q，a3=a2q=a1q^2，a4=a3q=a1q^3。由题意得a1+a2+a3=21，即a1+a1q+a1q^2=21，同理a2+a3+a4=63，即a1q+a1q^2+a1q^3=63。将两个等式相除，得q^2=3，因为q≠1，所以q=3。将q=3代入第一个等式，得a1=1。
（2）a10=31
解析思路：由数列的前n项和公式得an=Sn-Sn-1，代入Sn=3n^2+2n，得an=3n^2+2n-(3(n-1)^2+2(n-1))=6n-1。将n=10代入，得a10=6×10-1=59。
四、应用题
6.答案：长为30米，宽为15米
解析思路：设原来长方形的长为2x米，宽为x米，根据题意得(2x+10)(x-5)=2x×x，化简得2x^2-5x-50=0，解得x=10或x=-5（舍去），所以长为2x=20米，宽为x=10米。
五、证明题
7.答案：证明如下
解析思路：由∠A=∠B，得△ABC为等腰三角形，所以AD=BD。又因为AD是BC边上的中线，所以CD=BD。在△ABD和△ACD中，有AD=AD，BD=CD，∠BAD=∠CAD（对顶角相等），所以△ABD≌△ACD（SAS准则），因此∠BAD=∠CAD。
六、综合题
8.答案：
（1）答案：共需种植44棵树
解析思路：操场的周长为2×(60+40)=200米，每隔5米种一棵树，所以共需种植200÷5=40棵树。
（2）答案：点B的坐标为(3,2)
解析思路：点A(2,3)关于直线y=x对称，所以点B的坐标为(3,2)。