2025年中国数学奥林匹克（CMO）模拟试卷数论难题挑战与组合优化策略解析

一、数论难题解析

要求：请根据下列数论问题进行解答，并阐述解题思路。

1.设正整数n，若n的所有质因数之和为S(n)，且S(n)=3n，求n的所有可能的值。

2.设p是大于3的质数，证明存在正整数n，使得p是n的质因数，且n不是p的倍数。

3.已知正整数a，b，c，且a^2+b^2=c^2，求证：若a，b，c中有一个是3的倍数，则a，b，c都是3的倍数。

4.设正整数n，若n的质因数分解中，除了2和3以外，其他质因数的指数都是偶数，证明：n可以表示为6的倍数加上1或5。

二、组合优化策略解析

要求：