2025年中国数学奥林匹克竞赛数论与组合优化模拟试卷（高阶解析）

一、数论

要求：解答下列数论问题，展示对数论基本概念的理解和应用。

1.已知正整数n，证明对于任意的正整数k，都有\(n^k-1\)能被\(n-1\)整除。

-a.证明当k=1时，命题成立。

-b.假设当k=m时命题成立，即\(n^m-1\)能被\(n-1\)整除，证明当k=m+1时命题也成立。

2.设p是质数，且p3，证明\(\frac{p^2-1}{2}\)是偶数。

-a.利用质数的性质进行证明。

-b.举例说明存在质数p3，使得\(\frac{p^2