10.2.1代入消元法
一、内容和内容解析
1.内容
本节课主要学习人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第十章二元一次方程组中10.2.1节代入消元法，内容包括：通过实际问题理解消元思想，掌握用代入法解二元一次方程组的完整步骤，能根据方程组特点选择最优解法，并能建立方程模型解决生活应用问题。
2.内容解析
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法，其核心是通过代数变形将二元方程转化为一元方程。本课内容衔接小学简易方程思想，为后续学习不等式组、函数图像法解方程奠定基础，是培养学生代数思维和模型意识的重要载体。
二、目标和目标解析
1.目标
(1)能准确描述代入消元法的操作步骤，独立完成系数为1或-1的方程组求解。
(2)能根据系数特征选择最佳代入变量，优化解题过程。
(3)能建立二元一次方程组模型解决快递计费、商品包装等实际问题。
2.目标解析
通过观察方程结构特征，学生应掌握选择系数简单的变量→代数变形→代入消元→回代求解的完整思维链条。在解决快递员收入、商品分装等现实问题时，发展从具体情境抽象数学关系的建模能力，为后续学习函数与几何中的方程组应用积累经验。
三、教学问题诊断分析
代数变形错误：改写y=
步骤缺失：23%学生会忘记将求得的x值回代求y，直接得出最终解。
策略选择困难：面对系数复杂的方程组时，无法快速判断应消去x还是y。
建模障碍：将送件单价+揽件单价=总报酬错误理解为总价x+
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1快递员小李周一配送120件包裹，揽收45件包裹，获得270元报酬；周二配送90件，揽收25件，获得185元。如果每配送和揽收的报酬固定，如何计算单价？
（学生尝试用算术方法解决，发现存在两个未知量难以处理）
问题2若设配送每件报酬为x元，揽收每件为y元，请列出数学关系式：
120x
（引导学生发现方程组与问题1的等价关系）
问题3能否像小学应用题那样，只设一个未知数解决此问题？
（展示转化过程：由120x+45y=
设计意图：通过生活实例建立一元与二元方程的联系，渗透消元思想，对应目标(3)。
（二）合作探究1
探究1解基础型方程组：
x
教师追问：
方程①中，用x表示y的表达式是什么？
（学生回答：y=
将y=6?x代入②式后，方程变成什么形式？
（学生计算：
求得x=2后，如何确定y的值？
（强调必须回代到变形后的方程
完整解题展示：
由①得
变形
y
代入②得
代入
2x
解得
解一元方程
x
将x=2代入变形式
y
∴方程组的解为
x
（三）巩固练习1
解方程组：
3x
解析：
由①得
系数优先
y
代入②得
4x
回代得
y
最终解：
x
解方程组：
5x
解析：
由①得
系数需变号
y
代入②得
3x
（此设计故意制造分数解，检验计算严谨性）
（四）合作探究2
探究2解系数复杂方程组：
2x
猜想验证：
方程①中x系数为2，y系数为-5
方程②中x系数为9，y系数为7
选择改写x：由①得x
选择改写y：由①得y=2x
完整解题过程：
由①得
分数表达式需规范
x
代入②得
9
回代得
x
∴方程组的解为
x
设计意图：通过系数对比强化策略选择意识，对应目标(2)。
（五）典例分析
例1商品分装问题
某品牌坚果分大、小两种包装，3个大盒4个小盒共装108瓶，2个大盒3个小盒共装76瓶。求每种包装的容量。
建模分析：
设大盒装x瓶，小盒装y瓶
列方程组：
3x
解法展示：
由②得
优先消去系数较大的
y
代入①得
3x
回代得
y
∴解为
x
答：大盒装20瓶，小盒装12瓶。
设计意图：通过商品包装问题培养建模能力，对应目标(3)。
（六）巩固练习
基础题：解方程组
x
解析：
由①得
x
代入②得
5
回代得
x
进阶题：解方程组
4x
解析：
由①得
x
代入②得
5
回代得
x
应用题：书店销售精装与平装书，3本精装5本平装共520元，2本精装3本平装共320元。求每种书的单价。
解析：
设精装x元，平装y元
列方程组：
3x
解得
x
设计意图：通过分层练习强化不同难度问题的处理能力，对应目标(1)(2)(3)。
（七）归纳总结
步骤
操作要点
易错警示
.选择变量
优先选择系数为1或-1的变量进行变形
避免选择分数系数导致计算复杂化
2.代数变形
严格保持等式平衡，注意符号变化
y=2x
3.代入消元
代入后及时去括号、合并同类项
分配律错误：2
4.解一元方程
按步骤解方程并检验合理性
分数运算需通分
5.回代求解
必须代入变形后的表达式
直接代入原方程会增加计算量
6.验证解
将解代入原方程组检验
忽略验证导致潜在错误未发现
（八