2025年九年级中考数学热点考点专题训练
热点七材料阅读问题
热点趋势解读
材料阅读问题一般先提供一个解题思路或介绍一种解题方法或展示一个数学结论的推导过程等，要求学生理解其内容、方法要点以及数学思想，再进行自主探索，解决相应问题.
材料阅读问题可在学生现有的知识水平和认知水平下，拓宽学生的视野，帮助学生加深对知识点的理解.在近几年的中考中，材料阅读问题在试题中频频“亮相”，旨在考查学生的阅读理解能力及知识迁移能力.
强化练习
1.阅读下面材料,并完成相应的任务.
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算,它有很强的技巧性.观察下列各式：
；
；
；
；
…
我们发现,两位数与相乘,当时,有如下速算规律：先将十位数字a与相乘,得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字b和c相乘,得到的结果作为积的后两位数字.如果结果是一位数,则在其前面补0.
(1)请根据上述规律计算：______；______.
(2)我们可以用所学的知识证明这个结论,这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.请证明上述阅读材料中的结论.
2.阅读下列材料：我们知道,的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即,也就是说,表示在数轴上数与数对应的点之间的距离.
例1：解方程,因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为,所以方程的解为或.
例2：解不等式,在数轴上找出的解(如图),因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3,所以方程的解为或,因此不等式的解集为或.
参考阅读材料,解答下列问题：
(1)方程的解为.
(2)解不等式：.
(3)解不等式：.
3.材料1：观察方程，假设，则原方程可变形为，通过先求y的值，从而得x的值，这种解方程的方法叫做整体求解法.
材料2：解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为1，但像这样分子、分母均含有小数的方程，需要先将分母中的小数化为整数再求解.比如：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，将未知数的系数化为1，得.
材料3：在解含绝对值的方程时，可应用分类讨论的方法：①当时，原方程可化为，解得；②当时，原方程可化为，解得.故原方程的解是或.
阅读以上材料，解答下列问题.
［问题1］请用材料1的方法解方程：.
［问题2］（1）在材料2中，某同学由变形到是利用了()
A.等式的基本性质1 B.等式的基本性质2
C.分数的基本性质 D.去分母
（2）请用材料2的方法解方程：.
［问题3］请用材料3的方法解方程：.
4.阅读以下材料,苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550-1617年)是对数的创始人,他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler.1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地.若(且),那么x叫做以a为底N的对数,
记作,比如指数式可以转化为对数式,对数式可以转化为指数式.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
,理由如下：
设,则.
.由对数的定义得
又
.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题：
(1)填空：①___________；②_______,③________；
(2)求证：,,,；
(3)拓展运用：计算.
5.阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题：
如图1,给定不在同一直线上的三个点A,B,C,如何利用无刻度的直尺和圆规在点B,C之间画一条过点A的直线,且点B和点C到这条直线的距离相等？
下面是我的解题步骤：
如图,第一步：以点B为圆心,以的长为半径画弧；
第二步：以点C为圆心,以的长为半径画弧,两弧交于点D；
第三步：作直线,则点B和点C到直线的距离相等.
下面是部分证明过程：
证明：如图3.连接,,过点B作于点E,过点C作于点F,连接交于点O.
由作图可知,,
四边形ABDC是平行四边形.(依据)
.(依据)
……
于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点,由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线.
任务：
(1)填空：材料中的“依据1”是指______；“依据2”是指______.
(2)请将小明的证明过程补充完整.
(3)尺规作图：请在图4中,用不同于材料中的方法,在点B和点C之间作直线,使得点B和点C到直线的距离相等.(要求：保留作图痕迹,标明字母,不写作法)
6.阅读与思考
请阅读以下材料并完成相应的任务.
伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理.这个引理的作图步骤如下：
①如图,已知,C是弦上一点,作线段的垂直平分线,分别交于点D,于点E,连接.
②以点D为圆心,的长为半径作弧,交于点F(F,A两点不重合),连接.
引理的结论：.