中考数学几何模型2：共顶点模型
名师点睛拨开云雾开门见山
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的
两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：
（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形
*常见结论：
连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：
（1）△BCD?△ACE
（2）AE?BD
（3）?AFB??DFE
（4）FC平分?BFE
典题探究启迪思维探究重点
例题1.以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使
得一直角边重合，连接BD、CE．
（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；
（3把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
变式练习
1.已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．
（1）求证：BD=AE．
（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．
例题2.如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在
△ADB内，求证：CD与EF互相平分.
变式练习
2.已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，
QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
例题3.在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.
(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；
(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，
写出正确结论并证明.
例题4.【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD
和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系；（不必证明
【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合，连接
EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；（不必证明
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线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的
长．
例题5.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作
△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表
示．
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1.如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连
接