中考数学
重难点突破14几何最值问题4种类型
（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）
中考数学
题型01费马点
【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.
结论：
1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于
2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.
（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）
【解题思路】运用旋转的方法，以ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，
?
得出最短长度.
结论证明过程：
情况一：当△ABC各角不超过120°时，
将绕着点逆时针旋转°得到
?APBB60?A’P’B
则?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB
而∠P’BP=60°则?P’BP为等边三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°
∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C
∴当、、、四点共线时，的最小值为
A’P’PCPA+PB+PCA’C
此时∠°∠°
BPC=180-BPP’=120
∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时，
延长BA至C使得ACAC，做∠CAP∠CAP，
并且使得APAP,PCPC，则△APC≌△APC
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP180°-∠BAP-∠CAP180°-∠BAP-∠CAP180°-∠BAC≤
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60°
∴等腰三角形PAP中，AP≥PP
∴PA+PB+PC≥PP+PB+PCBCAB+AC（(只有当P、A重合时取等号)）
所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
【费马点的作法】（当△ABC各角不超过120°）
作法：1）如图，分别以?ABC中的AB、AC为边，作等边?ADB、等边?AEC
）连接、，则≌手拉手模型
2CDBE?ADC?ABE()
）记、交点为，点为费马点
3CDBEPP.
4）以BC为边作等边?BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD.
【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论
如图所示，以边、分别向△外侧作等边三角形，连接、，交点为点，点为费马点
ABACABCDCEBPP.
图形结论
等腰三角形①∠APB∠BPC∠APC120°；
②△ABP与△ACP全等；
③△BCP为等腰三角形；
④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P
为费马点时和最小.
等边三角形①APBPCP；
②∠APB∠BPC∠APC120°；
③△ABP、△ACP、△BCP全等；