一线三等角模型
0203
模型归纳模型应用
目录
CONTENTS
01
模型解读
04
强化训练
模型解读
1.定义：一线三等角是一个常见的模型，指的是有三个相等的角的顶点在同一条直线上构成的相似(或全等)图形，也可称为“K形图”或
“M形图”.
2.一线三等角的性质
(1)一般情况下，由一条直线上三个相等的角，易得两个相似三角形；
(2)当等角所对的边相等时，相似的两个三角形全等.
注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.
模型解读
3.构造一线三等角的基本步骤
做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.
类型
条件
图示
结论
一线
三等
角
(不
包含
直
角)
同侧型(三个等角都在直线的同
侧)
点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3,三个角在AB同侧
△ACP∽△BPD
点P在线段AB
上，∠1=∠2=∠3,P是AB的中点
△ACP∽△BPD
∽△PCD
模型归纳
类型
条件
图示
结论
一线三等
角(不包含直角)
异侧型
(三个
等角分
居在直
线的两
侧)
点P在射线AB
上，∠1=∠2=∠3,三个角在AB两侧
△ACPo△BPD
模型归纳
类型
条件
图示
结论
一线三直角
特别地，当∠1=∠2=
∠3=90°
时，为一线三直角模型
△ACPn△BPD.特殊地，当PC=PD时，
△ACP≌△BPD
模型归纳
模型运用
类型一一线三等角(不包含直角)
【例1】[问题发现]如图1,直线m经过点A,已知AB=AC,∠BAC=
∠BDA=∠AEC=a(0°a90°),则线段DE、BD、CE之间的数量
关系是DE=BD+CE;
图1
[类比探究]如图2,在[问题发现]的条件下，若90°a180°,则线段
DE、BD、CE之间的数量关系是DE=BD+CE;
模型运用
图2
解：【拓展探究】AD2=BD·CE.理由如下：∵∠BAC=∠BDA=∠AEC=a,
∴∠DBA+∠BAD=∠CAE+∠BAD=180°—a,
∴∠DBA=∠CAE.
又∵∠BDA=∠AEC,∴△BDA∽△AEC,
[拓展探究]如图3,若点A是DE的中点，∠BAC=∠BDA=∠AEC=α,请问线段AD、BD、CE之间满足什么数量关系?并说明理由.
∵点A是DE的中点，∴AD=AE,
●●
●
●
模型运用
∴AD2=BD·CE.
图3
●
●●
类型二一线三直角
【例2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点
C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
图1图2图3
模型运用
模型运用
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(1)证明：①∵AD⊥MN于点D,
BE⊥MN于点E,
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
又∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB(AAS);
②由①知，△ADC≌△CEB,
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
图1
(2)证明：∵AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE.
又∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,CD=BE,
模型运用
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE=AD一BE;
∴DE=CE一CD=AD一BE.
图2
模型运用
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE,AD,BE
具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系，不需要证明.
图3
(3)解：DE=BE—AD.(或AD=BE一DE,BE=AD+DE)
强化训练
?类型一一线三等角(不包含直角)
1.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的
一