专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
TOC\o1-2\h\u一、必备秘籍 1
二、典型题型 2
题型一：构造或(，且)型 2
题型二：构造或(，且)型 5
题型三：构造或型 7
题型四：构造或型 10
三、专项训练 11
一、必备秘籍
1、两个基本还原
①②
2、类型一：构造可导积函数
①高频考点1：
②
高频考点1：高频考点2
③高频考点1：
④
高频考点1：高频考点2
⑤
⑥
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
3、类型二：构造可商函数
①高频考点1：
②
高频考点1：高频考点2：
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造或(，且)型
1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由当时，，
得，
设，则，
所以在上单调递增，
又函数为偶函数，
所以为偶函数，
所以在在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，A选项错误；
，即，所以，B选项错误；
，即，所以，C选项错误；
，即，所以，D选项正确；
故选：D.
2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设，则，
由，可知，所以在上是增函数，
又，所以，即，
故选：B.
3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，，
则，
∵当时，，
即，在单调递减，
∴，
∴，
即，
∴.
故选：D.
4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为．
【答案】
【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减，
由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案为：
5．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是.
【答案】
【详解】记，则，
故当，，所以，因此在上单调递增，
又当时，，
因此为奇函数，故在上单调递增，
又，因此当和时，，
当和时，，
因此，即可得和，
故成立的的取值范围是，
故答案为：
题型二：构造或(，且)型
1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（????）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
，即，故A不正确；
，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；
故选：C
2．（2023上·四川内江·高三期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，令函数，，求导得，
则函数在R上单调递增，，
而，则，因此有，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：C
3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
令，则，
所以为偶函数，
当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
因为，
所以，
所以，即，即，
即，则，
解得.故数a的取值范围为：
故选：B.
4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为.
【答案】
【详解】设，则，
，
，
在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故答案为：.
5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的取值范围是．
【答案】
【详解】设，则＞0
∴在上单调递增，所以，
即＜?＜；
令，则
∴在上单调递减，所以，
即＞?＞
综上，＜且??＞．
故答案为：
题型三：构造或型
1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项