第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2025年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷（T8联盟）
数学试题（一）
试卷满分：150分考试用时：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，点对应的复数为，则实数（）
A. B. C.1 D.2
2.命题“，”否定是（）
A.“，” B.“，”
C.“，” D.“，”
3.已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（）
A. B.1 C. D.2
4.若数列满足，其前项和为，若，则（）
A.0 B.1 C.5 D.11
5.若，，则（）
A B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴于点，若，，则（）
A.3 B. C. D.6
7.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（）.
A. B. C. D.
8.设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（）
A. B.
C. D.的面积为
10.化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（）
A.
B.乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C.
D.
11.已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（）
A. B.为偶函数
C.当时， D.当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设长均相等的正三棱柱中，，若三棱锥的体积为，则该正三棱柱的棱长为_____．
13.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点处的概率为_____．
14.已知关于x的方程有两个不等实根，则正数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在压力日益增大的当下，越来越多的人每日的休息时间无法满足缓解压力的需要．某研究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时间，其中一周内（含周末）个人平均休息时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周休日无差异：
休息时长/小时
5.75%~6.25
6.25~6.75
675~7.25
7.25~7.75
7.75～8.25
8.25~8.75
人数
5
12
28
36
17
2
（1）估计该地内所有工作人员的平均休息时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在被调查100名工作人员中，有40人表示“近期内压力过大”．利用相应的统计学知识，设在该地的所有工作人员随机调查3人，合理估计表示“近期内压力过大”的人数为，求的分布列和期望．
16.已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求不等式的解集．
17.如图，直四棱柱中，，，，，点为棱中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面夹角的正切值．
18.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，线段的中点为．当直线的倾斜角为时，有．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若，求直线的一般式方程；
（3）若三点不共线，且，求证：直线过定点．
19.现定义：对于实数，若，则称是和加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．
（1）若是与的等比中项，求；
（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．
（i）求证：是和的减比中项；
（ii）当时，求证：．