有向图M带小波滤波器组构造方法研究
摘要
有向图M带小波滤波器组是一种多通道的有向图上信号处理方法，可用于有向图
上信号多尺度分析，具有高度的研究价值和重要的理论意义。相较于无向图，有向图基
于邻接矩阵进行分析，无法利用拉普拉斯分解获得图谱表示，使得现有无向图上多通道
滤波器组方法无法直接应用于有向图。然而，现有的有向图滤波器组大都仅针对两通道
情况，无法有效满足有向图上信号多尺度分析需求，制约了有向图上信号处理的发展。
针对有向图上信号多尺度分析对有向图上多通道滤波器组的需求，本文基于传统M
带小波变换与对偶树复小波变换理论，结合有向图上信号表示特点，开展有向图上M带
小波滤波器组构造方法研究，主要研究内容包括：
1.提出一种基于有向图埃尔米特矩阵的M通道过采样图滤波器组构造方法。针对
有向图无法直接采用非对称拉普拉斯矩阵作为基矩阵的问题，将有向图中有向边的方向
信息表示为一个与旋转参数有关的函数，并由有向图非对称邻接矩阵得到与有向图唯一
对应的无向图对称邻接矩阵，再将两者的哈达玛乘积作为有向图邻接矩阵，从而得到与
旋转参数有关的有向图埃尔米特拉普拉斯矩阵并作为基矩阵。接着，在多通道过采样图
滤波器组满足完全重构条件时，推导分析了滤波器组中各滤波器应满足的条件，并针对
不同规模的有向图，讨论了旋转参数和矩阵权重的选择问题。最后，设计仿真实验，验
证所设计滤波器组的重构特性和去噪性能。仿真实验表明，对于不同的图信号，借助契
比雪夫多项式逼近算法，该方法都可实现对原始信号的完全重构，且相较于现有方法，
本方法可获得更高的峰值信噪比。
2.提出一种基于有向图酉移位矩阵的M通道图滤波器组构造方法。针对在利用有
向图邻接矩阵进行信号移位时面临的能量不守恒问题，通过对邻接矩阵进行奇异值分解，
获得希尔伯特空间内与邻接矩阵最接近的酉矩阵并作为有向图上的基矩阵。然后，在有
向图上滤波器组可完全重构的前提条件下，探究了滤波器组中已知的单个低通滤波器同
剩余的多个高通滤波器之间的关系式，证明了基于酉移位矩阵的多通道滤波器组的完全
重构特性，再结合M带对偶树复小波变换，构造了有向图上M带对偶树复滤波器组，
并对所设计滤波器组的重构特性与去噪性能进行仿真验证。仿真实验表明，本方法构造
的多通道图滤波器组可获得比双通道情况下更高的峰值信噪比与更低的均方误差，具有
更好的重构性能与更多的方向选择性，并且，相比于有向图上实滤波器组，对偶树复滤
波器组可实现更高的峰值信噪比，去噪性能更佳。
哈尔滨工程大学硕士学位论文
关键词：有向图滤波器组；拉普拉斯矩阵；邻接矩阵；M带小波变换；完全重构
有向图M带小波滤波器组构造方法研究
ABSTRACT
ThedirectedgraphM-bandwaveletfilterbankisamulti-channelsignalprocessingmethod
ondirectedgraphs,whichcanbeusedformulti-scaleanalysisofsignalsondirectedgraphsand
hashighresearchvalueandimportanttheoreticalsignificance.Comparedwithundirected
graphs,directedgraphsareanalyzedbasedonadjacencymatrixandcannotobtainagraph
representationusingLaplacedecomposition,whichmakestheexistingmulti-channelfilter
bankmethodonundirectedgraphscannotbedirectlyappliedtodirectedgraphs.However,most
oftheexisting