3.4Jacobi场
作者：鲍祥平
Jacobi场（Jacobivectorfield），又称雅可比向量场，是黎曼几何中的一个基本概念，也是一类重要的向量场。以下是关于Jacobi场的详细介绍：
一、定义
Jacobi场是沿测地线满足Jacobi方程的向量场。具体来说，设γ是黎曼流形M中的一条测地线，X是沿γ定义的光滑向量场。如果X满足方程?γ˙?γ˙X=R(γ˙,X)γ˙，则称X是沿γ的Jacobi场。其中，?表示协变微商，R表示黎曼流形M上的曲率算子。
二、性质
Jacobi场描述了测地线在流形上的变形行为。它是测地线变分方程的解，因此与测地线的稳定性和性质密切相关。
对于任意给定的测地线γ和切向量Xγ(a),Yγ(a)∈Tγ(a)M，存在唯一沿γ的Jacobi场X，使得X(a)=Xγ(a)且?γ˙(a)X=Yγ(a)。
所有沿给定测地线的Jacobi场构成一个线性空间，这个空间的维数与流形的维数有关。
三、应用
Jacobi场在研究测地线的大范围性质中发挥着重要作用。例如，在广义相对论中，它可以用来描述时空的曲率以及测地线的稳定性和聚焦性质。此外，Jacobi场还与共轭点等概念紧密相关，这些概念在物理学和工程学中有着广泛的应用。
综上所述，Jacobi场是黎曼几何中一个重要的概念，它描述了测地线在流形上的变形行为，并与研究测地线的大范围性质密切相关。
我们来引进Jacobi场的概念。
现在设L∈C3,又设
Φ
我们称其为附属的（accessory）Lagrange函数。
又设u0
Q
因为Qu0φ=δ2Iu0
现在我们把泛函Qu0的定义域扩充到
A
“倘若L沿u0满足严格的Lagendre-Hadamard条件，即Au0是正定的，那么利用上面的积分形式的E-L方程，可见解
如果φ
J
我们称这个方程为Jacobi方程，并称算子Ju0φ
Jacobi算子是一个二阶线性微分算子，他在变分问题中扮演这Hesee矩阵在函数极值中的角色。
我们称Jacobi方程的任意一个C2解为沿轨道u0t的一个Jacobi
定理3.2设φ0是沿u0t的一个Jacobi场，则Qu0φ0=0，反之若φ0∈Lip0J,
证明“”因为Φu0t,
2
如果φ0∈C01a,b，
Q
=
=
=?
在由a，b的任意性即得
“”利用光滑函数逼近，我们得到
Q
于是φ是Qu0的一个极小点由前面的推理知道，它满足积分形式的E-L方程，也满足微分形式的E-L方程：
定理3.0若Qu0≥λJφ2
证明事实上如果φ0是沿u0的Jacobi场，则利用定理3.2则Qu0φ0=0，这与Q
3.5共轭点
定义3.1（共轭点）设u0是Iu=JLt,ut,utdt的E-L方程的一个解，称
p=a,u0a
p=
图3.1共轭点
有时我们把轨道t,u0tt∈
例3.3在三维空间中的二维曲面上我们有度量
d
我们选定其上的一条测地线γ，取其为x轴：y=0，而曲线x=const取得与测地线γ垂直。引入正交曲线坐标系，在这坐标系下，曲线y=u
d
其中ex,y0，
I
即
L
所以
L
沿测地线γ：
A
几何上把
K
称为高斯（Gauss）曲率，从而附属的变分积分是
Q
Jacobi算子是
J
当K是常数时，Jacobi场是
φ
由此可见，当K≤0时无共轭点。
当K≥0时，0,0
注3.1对于一般的黎曼（Riemann）流形M，g，
L
对应的Jacobi方程是
d
其中Ru
定理3.3设u0是Iu=JLt,ut,ut
证明利用定理3.2，用反证法
若不然，?a∈t0,t1，a,u0a是t0，
ξ
则ξ∈LipJ,
Q
根据定理3.2ξ∈C2J,?
ξ
这与ξ的非零性矛盾！
对于N=1的特殊情形
以下设u0是E-L方程的一个解，我们指出如果在t0，t1上u0没有共轭点，那么便存在一个正的
事实上，设λ是个Jacobi场，λt0=0，λt0=1，由假设它的一个根a应满足：a
ψ
引理3.3设沿u0有一个Jacobi场ψ
Q
证明令λ=φψ
A
=
由于ψ满足
J
=
=
由ψ对初值的严格依赖性，当初值只做一个微小的变动时t
A
则原式
=
下面这个定理不一定成立
定理3.4若N=1，u0∈C1J是E-L方程的一个解，设Au0正定，（即?λ0，且
证明记
α
?φ
Q
≥
≥
≥
所以存在μ0
Q
只要能证明出Qu0φ
所以
Q
指的是εφt自身小其导数也小的这类函数的集合，在这种意义下如果Qu
//“令μ‘=ψφψ
Q
但这也不能证明u0是一个严