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“矩阵论”课程研究报告
科目：矩阵理论及其应用教师：xxx
姓名：xx学号：xx
专业：机械工程类别学术型
上课时间：2014年9月至2014年12月
考生成绩：
阅卷评语：
阅卷教师(签名)
矩阵论在机械工程中的应用
摘要：矩阵论在机械工程中无论是在设计、制造、运行、试验、测试过程中都有广泛应用，矩阵论使得机械工程的许多计算变得简便。而且，在这些过程中的变量间常存在着线性关系,而某些非线性关系的问题,在一定条件下也可以用线性关系近似表示,因而许多问题就涉及求解线性方程组。如果我们利用“矩阵运算”来表达这些大型线性方程组，可以使符号简单、运算简易、分析方便、求解迅速。这也使得它在机械工程领域得到大力推广。
本文结合笔者所学知识谈谈矩阵在机械振动学及有限元理论中的一些应用。
关键字：矩阵论；机械振动学；有限元
1矩阵论在振动学里的应用
1.1矩阵法分析振动
在生活中振动的种类繁多，形式各异，它们存在于各个角落、各种场合和各个部门。例如，建筑物的振动和机器的振动、地震、声和光的波动、无线电技术和电工学中的振动、磁系中的振动、控制系统中的振动等等。
在振动学中，单自由度并不需要运用矩阵的理论便可求解。但在二自由度，甚至推广至n自由度时，为了简化公式、便于求解振动响应，简历质量矩阵M、刚度矩阵K、阻尼阵R和作用力向量F是必要的。
以三自由度系统为例。图1-1是一三自由度质量弹簧系统，质量m1、m2、m3上分别作用有激振力F1(t)、F2(t)、F3(t)，质量
(1-1)
图1.1三自由度振动系统
上述的振动学关系如用矩阵表示会变得清晰直观。矩阵表示方式如下：
(1-2)
简化成：
(1-3)
在建立系统的运动学方程后，就可以开始分析系统的特性。系统的特性中，固有频率是十分重要的一个参数。在多自由度系统中，n个自由度就会对应着n个固有频率和n种振型。如果用求解方程组的方法会使过程变得繁杂，不易理解。所以，使用矩阵进行求解就变得简单直观。
在系统自由振动中，假设所有的质量均做简谐运动，则方程解的形式为：
(1-4)
式中
将使(1-4)代入(1-2)，得到下式：
(1-5)
得到特征矩阵
根据令特征方程的行列式为0，即可求出各阶固有频率：
(1-6)
当然，求解系统固有频率的方法不止这一种。我们可以根据刚度矩阵K求解出系统的柔度矩阵，由于刚度矩阵K和柔度矩阵互逆，故
我们运用位移方程来求解固有频率，即
(1-7)
同样，我们将(1-2)方程代入得
类似的，我们引入特征矩阵，对于振动系统而言振幅不可能全为0，因而必有。
通过求解上述特征矩阵的行列式即可求解出n个固有频率。
1.2矩阵迭代法的应用
随着系统自由度数的增加，计算近似解往往变得更加重要，在计算机中运用矩阵迭代进行计算是振动分析的有效途径。
在大多数情况下，n个自由度系统对应的特征值各不相同，可以按照次序由大到小排列为，共有n个值，相应的也有n个振型、、、。给定的初始迭代向量是一个任意数列，当然也可以用各阶主振型线性组合来表示，即:
式中，比例系数分布表示各阶主振型在中所占的比例。用动力矩阵D左乘，得到第一次迭代计算的结果：
如果特征值不是特征方程的重根，那么、、、都小于1，可见在第一次迭代后特征向量在计算式中，除了第一阶特征向量外，其他阶特征向量都相对的缩小了，因而向量比向量更加接近第一阶特征向量。同样，进行第二次迭代后：
由此可知，当迭代次数足够大时，近似振型中二阶及以上振型成分会急剧缩小，从而使一阶振型占了绝对优势，所以有：
(1-8)
同样有：
(1-9)
所以，可以得出特征值为：
将得到的特征值带回式1-8即可求解出一阶振型。在求解出一阶振型后，仍可