数值分析习题参考解答江世宏编
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第一章绪论
姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为0.5×10?,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算)
解：x=0.3400×102,故具有3位有效数字。
2π=3.14159…具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算)解：π=0.314159…×10,欲使其近似值π具有4位有效数字，必需
,即3.14109≤π≤3.14209即取(3.14109,3.14209)之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知a=1.2031,b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b,a×b有几位有
效数字?(有效数字的计算)
解：,而a+b=2.1811,a×b=1.1766
故a+b至少具有2位有效数字。
故a×b至少具有2位有效数字。
4设x0,x的相对误差为δ,求Inx的误差和相对误差?(误差的计算)
解：已知
,则误差为
则相对误差为
5测得某圆柱体高度h的值为h*=20cm,底面半径r的值为r*=5cm,已知
|h-h|≤0.2cm,|r-r≤0.1cm,求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差
限。(误差限的计算)
解：|v(h,r)-v(h,r)≤|2πrh|r-r|+|πr2|h-h
绝对误差限为|v(h,r)-v(20,5)≤|2·π·5·20×0.1+π·52×0.2=25π
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相对误差限为
6设x的相对误差为a%,求y=x的相对误差。(函数误差的计算)
解：
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时允许的相对误差限为多
大?(函数误差的计算)
解：球体积为
欲使,必须
8设,求证：
(1)In=1-nln(n=0,1,2)
(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)
解：
如果初始误差为8。=I。-I。,若是向前递推，有
8n=In-1=(1-nln?)-(1-nl_)=-nn=(-1)2n(n-1)8n=…=(-1)n!e。
可见，初始误差8。的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推
,其误差为
可见，初始误差8。的绝对值被逐步减少了。
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第二章插值法
姓名学号班级
习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)
解法一(待定系数法):设L(x)=ax2+bx+c,由插值条件，有
解得：a=1/6,b=-1/2,c=4/3。故
解法二(基函数法):由插值条件，有
2已知y=√x,xo=4,x?=9,用线性插值求√7的近似值。(拉格朗日线性插值)
解：由插值节点与被插函数，可知，yo=√4=2,y?=√9=3,其线性插值函数为
√7的近似值为
3若x;(j=0,1,.n)为互异节点，且有
试证明。(拉格朗日插值基函数的性质)
解：考虑辅助函数
,其中，0≤k≤n,x∈(-,)
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F(x)是次数不超过n的多项式，在节点x=x(0≤i≤n)处，有
这表明，F(x)有n+1个互异实根。
故F(x)=0,从而对于任意的0≤k≤n均成立。
4已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物线插值计
算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)解：由插值条件，其抛物线插值函数为
将x=0.3367代入，计算可得：L(0.3367)≈0.33