将张量分析融入传统力学的新工科教育
郭晶齐辉吴国辉夏培秀
［摘要］教育一直是社会发展进程中的重要命题，教育现代化也是社会现代化的重要标志。在新工科建设背景下，力学问题同样是数学问题，而“张量分析”则是面向力学专业一门独有的数学课。近年来，力学教学广泛运用了张量分析，以简明而又精练的数学语言表达一些较复杂的力学公式。“张量分析”课程相对而言较为复杂，这意味着教师在进行张量分析授课时需要讲究教学方法，改变教学模式，最大限度地调动学生学习张量的积极性，从而提升学生对张量分析的学习能力。
［关键词］张量分析；数学问题；教学模式；教学方法
［基金项目］2022年度哈尔滨工程大学校教改项目（JG2022B0201）
［中图分类号］G642.0［文献标识码］A［文章编号］1674-9324（2023）14-0153-04［收稿日期］2022-12-21
近年来随着经济高速发展，国家大力扶持新兴产业，对创新型人才的需求不断增加。针对土木工程专业的新工科教育改革的研究与实践项目也应运而生。在我国大力推进自主创新的时代背景下，为推行行之有效的创新人才培养教学方式，以创新人才培养为核心，要求高校统筹传统教学模式，践行创新型教学方式。由于国内的高校大多以学生能够基本掌握理论基础知识、具有扎实的学科基础为目标，培养在工程规划、管理、设计以及相关的科学研究方面具备一定能力的土木工程专业人才，此时新工科的教学方式和发展战略起决定性作用。
一、力学的高阶需求
高校理工科课程包含许多基本力学知识，比如理论力学、材料力学、结构力学、工程力学、弹性力学、弹塑性力学、固体力学、流体力学、结构动力學等。固体力学研究连续固体在外界因素作用下的表现，这些因素一般包括力和热的响应，满足质量守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律以及热传导定律等普遍的定律。经典牛顿力学的框架和体系经过半个多世纪的继承和发展，其中固体力学所包含的多个新兴子学科也已经渐渐发展起来，其几乎与所有工科专业包括土木、航天、机械、交通运输、新型材料、仪器仪表、动力能源等学科有所交叉。在实际生产生活、工程实际、专业发展中遇到的力学难题，固体力学几乎都能直接解决。工程技术大都以力学为基础，所以力学发展对科学规划及其科学任务的完成起决定性作用。
力学离不开数学。力学和数学作为各种实际工程结构中必须要考虑的关键问题，两者结合紧密，各种实际工程结构设计和优化的重要工具和手段几乎都离不开力学和数学方法，工程结构的每一个细节几乎都被数学方法所渗透。数学建模作为科学思维中的基础部分，是在力学中应用数学的必由之路，这就要求具备更高的数学水平开展力学研究。力学的问题同样也是数学问题，涉及大量的计算。比如，当需要简明扼要地描述物体运动行为之间的因果关系时，就需要利用牛顿力学中的基本运动方程，从位移、速度和加速度等方面进行描述。以一个连续体为例，由于它的形状是变化的，就如同物理量可以在不同的坐标系下表示一样，应力和应变也可以在不同构型下表达［1］。对于力学来说，从质量这种标量，到速度这种向量，再到应力这种矩阵，逐步需要更加高阶的数学。在力学问题中引入数学方法，在力学实践中应用数学。为了简便计算，应力的矩阵需要用张量来描述和形容。张量的概念在力学领域中应运而生，是面向力学专业的一门独有的数学课。
二、张量分析的发展
张量的概念来源于力学现象。关于“张量”一词，《韦氏词典》解释说：“有三个以上分量的广义向量，特定维度空间中每一个分量都是其任意点的坐标函数”；在《美国传统词典》中的解释：“与偏导数有关的一系列数字，这些数字遵循从一个抽象坐标系到另一个抽象坐标系，即两个抽象坐标系的转换规律”。与标量和向量相对应的就是张量，或者说是向量在三维坐标系中的广义定义。从较为直观的意义上讲，标量等价于绝对值，向量即代表有方向属性的线段的有理数。现代数学视角下，经若干次坐标变换，标量保持不变，即标量象征量的固有属性，在任意系下具有等值分量；向量则引入正负号，涵盖方向的概念，且在任意系下不一定具有等值分量，这是向量与标量的区别。对于标量、向量和线性算子的母概念，实际上可将其理解为张量。虽然在确定的坐标系下可以做到张量表达，但是张量不随坐标系而变化，即对于任意选定的参考系，张量是独立的。
张量分析不仅是19世纪数学巨大变革的发端，还是近代数学向现代数学进化的开端。从代数的角度来看，张量是向量的推广；从几何的角度来看，作为一个真实的几何量，张量不随参考系的坐标变化而变化，而是使用相应的指标符号。自然界中的大多数物理量包括速度、力矩等都可以看作是张量。一切力学量都是一阶或二阶张量，张量整体具有任意系变换的不变性，其象征力学量的本质属性。例如：零阶张量有密度、长度、温度、时间等一类标量；而力、速度等这类矢量可以看成一阶张量；连续介