新版变分学
作者：鲍祥平
编写这门课程是在读者已经学过变分学的基础上进行编写的，是对张恭庆老师编写的变分学进行改编和扩展，本人水平有限，只是在自己的认知水平上进行写作和编辑，里面设计很多新概念新知识分享给大家共同学习和研究，秉持实事求是的客观精神共同把变分学发扬光大。
必备新知识《变函函数》
1.1变函函数
我们知道泛函是函数域到实数域的映射，当我们把实数域看作常值函数域时，这时我们发现我们可以把泛函看作函数域到常值函数域的映射。于是我们可不可以把泛函进一步扩延呢？这就是我要向大家介绍的《变函函数》。
定义：我们把函数域到函数域的映射称之为变函函数，表达式记为：
Y=F
Y表示变函函数符号，y表示自变量为函数的变量，F表示变函函数映射，y的定义域可以人为规定或根据变函函数表达式综合确定，我们把上述定义称为变函函数。
例Y=y2，
变函函数的求导：
通过对变函函数的求导的研究，是我们对变分学有个全面的认识，特别是对变分符号δ的深入了解有助于认识变分学的本质。这里把变分符号δ作为变函函数的微分符号即变函y1到y2的微小改变量εy2?y1，记为ε
微函的定义：我们把变函y1到y2的微小改变量εy2?y1叫做微函，记作δy。这里δy=εφx
下面只针对几种简单的变函函数求导：
幂变函函数举例1：
F
则该变函函数求导：F
这里的φx的定义域与y
例2：
F
则该变函函数求导：F
推广的e:
我们知道limx
lim
当然我们还可以把x由实数域推广到复数域z，即limz
指数变函函数举例：
F
则该变函函数求导：
Fy=
三角数变函函数举例：
F
则该变函函数求导：
F
临界函数的定义：
我们把变函函数Fy的导数为零的自变量函数y0称为临界函数，比如
F
则y恒等于零是Fy
又比如Fy
则该变函函数求导：F
则y=x2为
对于泛函求极值的变分中对临界函数还要讨论极大或极小等临界情况。
原变函函数的定义：
我们把变函函数求导的逆过程称为求原变函函数，用符号表示为：
F
fx
原变函函数的微分定义：
我们把δFy=
原变函函数的定积分定义：
y
特别的y1恒等于零时：
泛函是变函函数的特殊情形，泛函求极值就是变分。这里只对变函函数做粗略的介绍。
泛函求极值满足分量最优局部最优的原则
为什么δdydx=dδydx，因为当δy有个微小的改变εφx时δdydx必须做相应的改变εφx，本来δdydx的改变量是δρx，由于δy的改变量关联到δdydx
δ
又由于δρx中ρx的任意性，所以可以令δρx=δ
变分运算也是一个线性运算：δ
乘积的变分法：δFG=
变分运算可以和积分运算交换次序：δ
因为变分只对变函发生改变，自变量不发生变化，所以变分符号可以拿到积分符号内，自变量和变函同时发生变化时要综合考虑。
多变量的泛函的变分运算和微分运算类似：δ
在δFx,y,y中y与y即是相互独立又是相互影响的，独立性表现在δFx,y,y=?F
1.2泛函
变分学是研究泛函极值（以及更一般的临界值）的一个数学分支。这里主要讨论变分学的基础理论。
一般地把从任意集合M到实数域R或复数域C的映射通称为泛函。但在变分学里泛函值域只取实数域，定义域是一个函数集合，即I:M→
例如：Ω??n是一个有界开集，x0∈是一个固定点，
I
都是泛函。但不论在Μ中取何函数作为函数F的自变量，即
I
它可能不是泛函，而是变函函数。
对Μ中取某个固定的函数u
I
它就不是泛函而是复合函数。
给定一个变函函数L∈
I
其中Μ是连续可微函数类C1
有时在运算中，I的积分中还可以含有高阶导数项，Μ中函数u的要求也要做相应的改变。