关于无穷小与无穷大无穷小的比较第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日定义1.12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中,为无穷小量．简称无穷小．2.4.1无穷小例如，当时，，，是无穷小量；当时，是无穷小量当时，，是无穷小量．我们经常用希腊字母，，来表示无穷小量．第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日注意：（1）无穷小是以零为极限的变量，常数中只有零是无穷小（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，例如:当时,为无穷小当时,就不是无穷小第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日定理1.2函数以为极限的充分
必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和．即其中．第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日无穷小的代数性质性质1无限个无穷小之和仍是无穷小。性质2有界变量与无穷小之积仍是无穷小。推论1常数与无穷小之积是无穷小。推论2有限个无穷小之积是无穷小。第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日定义1.10如果(或)时，相应的函数值的绝对值无限增大，则称 当(或)时为无穷大量，简称无穷大.2.4.2无穷大第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日如果函数当时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大”并记为第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日而且，把正值的无穷大叫做正无穷大，把负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为例如，（1）无穷大是个变量，不是常数（2）无穷大总和自变量的变化趋势相关联注意：第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日时，,时，是无穷小例1指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？解时，,时，是无穷小时，,时，是无穷大解时，,时，是无穷大时，,时，是无穷大第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日解时，，所以时，是无穷小时，,所以时，是正无穷大第10页，共23页，星期日，2025年，2月5日练习一1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？是无穷大是无穷小是无穷大是无穷小第11页，共23页，星期日，2025年，2月5日是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大第12页，共23页，星期日，2025年，2月5日2.指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小时，是无穷小时，是无穷大时，是无穷小时，是无穷大第13页，共23页，星期日，2025年，2月5日时，是无穷小时，是正无穷大第14页，共23页，星期日，2025年，2月5日第15页，共23页，星期日，2025年，2月5日解因为，所以是有界变量；例2求．当时，是无穷小量．根据性质1.2，乘积是无穷小量．即．第16页，共23页，星期日，2025年，2月5日练习求下列函数的极限第17页，共23页，星期日，2025年，2月5日