强极小与极值场
作者：鲍祥平
在变分学中，强极小与弱极小是泛函极值理论中的两个重要概念。
强极小值是指在一定条件下，泛函在某条曲线（或函数）上取得的极小值，且这种极小值在与其他所有“附近”的曲线（或函数）进行比较时都是最小的。这里的“附近”通常指的是在某种范数或度量意义下的接近。强极小值具有局部和全局的最小性，即在极值曲线的小邻域内以及在整个定义域内，它都是最小的。
弱极小值则是一种相对较弱的概念。它指的是泛函在某条特定曲线（或函数）上取得的极小值，但这种极小值可能只是在某种限制条件下或与其他“特定类”的曲线（或函数）进行比较时是最小的。弱极小值不一定具有全局最小性，它可能只是在某个特定的函数类或曲线族中是极小的。
具体来说，强极小和弱极小的区别主要在于比较的范围和条件：
强极小是在所有可能的曲线（或函数）中进行比较得出的，要求更为严格。
弱极小则是在某个特定的函数类或曲线族中进行比较得出的，要求相对宽松。
此外，在变分学中，为了判断一个极值点是强极小还是弱极小，通常需要利用一些数学工具和定理，如二阶变分、Jacobi方程、Legendre-Hadamard条件等。这些工具和定理可以帮助我们分析泛函的性态，从而确定极值点的性质。
总的来说，强极小和弱极小是变分学中描述泛函极值性质的两个重要概念，它们在优化理论、控制论、物理学等领域都有广泛的应用。
在变分学中，极值场是一个与泛函极值问题密切相关的概念。以下是对变分学中的极值场的详细解释：
一、极值场的基本概念
极值场是指在给定的函数空间（或称为容许函数类）中，使得某个泛函取得极值（极大值或极小值）的函数所构成的场。这里的“场”可以理解为一种数学结构或空间，其中包含了所有可能的函数或解。
二、泛函与极值问题
泛函是函数概念的一种扩充，它描述的是从函数到数的一种映射关系。在变分学中，我们关心的是如何在容许函数类中找到一个特定的函数，使得某个泛函取得极值。这个问题就是泛函极值问题。
三、变分法求解极值场
变分法是求解泛函极值问题的一种有效方法。它通过分析泛函的变分（即泛函增量的线性主部）来找到使得泛函取得极值的函数。具体来说，变分法包括以下几个步骤：
确定容许函数类：即确定所有可能的函数集合。
定义泛函：在容许函数类上定义一个泛函，该泛函描述了我们要优化的目标。
求泛函的变分：分析泛函的变分，即泛函增量的线性主部，以找到使得泛函取得极值的条件。
解欧拉方程：在变分法中，通常需要通过求解欧拉方程（一种微分方程）来找到使得泛函取得极值的函数。欧拉方程是泛函取得极值的必要条件。
四、极值场的应用
极值场在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，最短路径、能量最低、阻力最小等问题都可以通过变分法来求解，这些问题实际上都是求解给定流形上的场的某种极值性质。在工程学中，优化设计、控制理论等问题也涉及到泛函极值问题和变分法的应用。
综上所述，变分学中的极值场是一个与泛函极值问题密切相关的概念，它通过变分法来求解使得某个泛函取得极值的函数所构成的场。这个概念在多个领域都有着广泛的应用和重要的意义。
强极小与弱极小
和函数极小的概念一样，泛函的极小也是局部极小，局部的概念是由邻域决定的，变分学中的空间是无穷维的函数空间，而同一个无穷维空间经常有许多不同的拓扑，因此有必要事先明确这个空间的拓扑是什么。
定义4.1设J=t0,
I=
的强（弱）极小点，如果存在γ
εφ
的φ
I
注：强（弱）极小点和度量没有多大关系，对于弱极小，u在J内除有限个点不可求一阶导外，还必须满足泛函I能积分；对于强极小这个要求可以放宽到只要存在u能满足E-L方程的解，对于任意的扰动函数φ二阶变分大于等于零或更高阶的变分大于零。
函数类C1可以换成Lip，用Lip模代替C
例4.1设
I
M=
则u=0在uLip
事实上
I
≥
进一步从
δ
所以在没有uLip12的限制下，由于Au
那么更不可能是强极小了，事实上?0h1?
u
则
u
于是u?
I
4.2强极小值的必要条件与Weierstrass过渡函数
给定一个Lagrange函数L∈C1J
I
的E-L方程的一个解。
我们来寻求u成为强极小点的必要条件。为此我们要把Iu与Iu在u的
如果u是强极小点，那么?φ∈C01J,
现在我们来构造适当的函数φ。?ξ∈?N，?τ∈
ψ
ψ
再令
φ
则φλC0=
特别地取φ
I
由E-L方程
J
而且
J
其中第一与第四积分为零，第三个积分中的被积函数等于oλ，于是
lim
而第二个积分的极限等于
lim
现在引入定义
E
我们称其为Weierstrass过渡（excess）函数，它的几何意义见图4.1.
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