多变量的误差修正模型也可类似地建立。如三个变量如果存在如下长期均衡关系则其一阶非均衡关系可写成于是它的一个误差修正模型为第31页，共44页，星期日，2025年，2月5日关于协整分析与误差修正模型第1页，共44页，星期日，2025年，2月5日一、长期均衡关系与协整第2页，共44页，星期日，2025年，2月5日问题的提出经典回归模型（classicalregressionmodel）是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointegration）。第3页，共44页，星期日，2025年，2月5日经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述1、长期均衡式中:?t是随机扰动项。该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为??0+?1X。第4页，共44页，星期日，2025年，2月5日在t-1期末，存在下述三种情形之一：（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=?0+?1Xt；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1?0+?1Xt；（3）Y大于它的均衡值：Yt-1?0+?1Xt；在时期t，假设X有一个变化量?Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:式中，vt=?t-?t-1。第5页，共44页，星期日，2025年，2月5日实际情况往往并非如此如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化?Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的?Yt。可见，如果Yt=?0+?1Xt+?t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。因此，一个重要的假设就是:随机扰动项?t必须是平稳序列。显然，如果?t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。第6页，共44页，星期日，2025年，2月5日式Yt=?0+?1Xt+?t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibriumerror），它是变量X与Y的一个线性组合：(*)因此，如果Yt=?0+?1Xt+?t式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。例如：假设Yt=?0+?1Xt+?t式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变量X与Y是协整的（cointegrated）。第7页，共44页，星期日，2025年，2月5日如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量?=(?1,?2,…,?k)，使得Zt=?XT~I(d-b)其中，b0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，?为协整向量（cointegratedvector）。⒉协整在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。第8页，共44页，星期日，2025年，2月5日三个以上的变量，如果具