一类二阶变阻尼系统的长时间行为
摘要
二阶变阻尼系统是一类耗散系统，广泛应用于控制论、力学、优化等领域。对该系
统的研究起源于优化领域中的梯度下降问题，后因其与Nesterov加速梯度算法的收敛性
关系密切，逐渐成为学者们的关注对象。同时二阶变阻尼系统也是动力学中描述物体的
振动行为的一类数学模型，有极为重要的研究价值。
本文主要基于微分方程和凸分析理论知识，通过构造Lyapunov函数的方法，研究
了一类二阶变阻尼系统的长时间行为。本文首先介绍了二阶变阻尼系统的研究背景以及
国内外研究现状。之后证明了二阶系统的一些基本性质，包括解的存在唯一性，解的稳
定性，并且构造合适Lyapunov函数，分析势能泛函的收敛性。最后给出了当势能泛函
满足一些局部几何性质时，解轨道与势能泛函的收敛速度。
关键词:二阶系统；变阻尼；Lyapunov函数；渐近行为
哈尔滨工程大学硕士学位论文
ABSTRACT
Second-orderdynamicalsystemswithvariabledampingareaclassofdissipativesystems
thathavewidespreadapplicationsincontroltheory,mechanics,andoptimization.Theresearch
onthissystemoriginatedfromthegradientdescentprobleminoptimization.Later,duetoits
closerelationshipwiththeconvergenceofNesterovacceleratedgradientalgorithm,thesecond-
orderdynamicalsystemhasarousedgreatconcernfromscholarsathomeandabroad.
Additionally,thesecond-ordervariabledampingsystemisalsoamathematicalmodelthat
describesthevibrationbehaviorofobjectsindynamicsandithassignificantresearchvalue.
Basedonthetheoryofdifferentialequationsandconvexanalysis,thelong-timebehavior
ofaclassofsecond-orderdynamicalsystemwithvariabledampingisstudiedbybuilding
Lyapunovfunctionsinthispaper.Webeginbyintroducingtheresearchbackgroundofsecond-
orderdynamicalsystems,aswellasthecurrentresearchstatusbothdomesticallyandabroad
Next,somefundamentalpropertiesofsecond-orderdynamicalsystemsareproven,suchasthe
existenceanduniquenessofthesolutionandthestabilityofthesolution.Anappropriate
Lyapunovfunctionisalsobuilttoanalyzetheconvergenceofthepotentialenergyfunctional.
Lastly,weprovideestimatesfortheconvergencerateofthe