数学期望得计算方法及其应用
摘要:在概率论中,数学期望就就是随机变量一个重要得数字特征,她比较集中得反映了随机变量得某个侧面得平均性,而且随机变量得其她数字特征都就就是由数学期望来定义得，因此对随机变量得数学期望得计算方法得研究与探讨具有很深得实际意义。本论文着重总结了随机变量得数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下得一些常用得计算方法,如利用数学期望得定义和性质,利用不同分布得数学期望公式等等,并通过一些具体得例子说明不停得计算方法在不同情况下得应用,以达到计算最简化得目得。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望得计算技巧,并探讨了各种简化计算随机变量数学期望得方法,利用一些特殊求和与积分公式,利用数学期望定义得不同形式,利用随机变量分布得对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧,已达到学习该内容得目得。
关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法
ABSTＲACT:
离散型随机变量数学期望得计算方法及应用
利用数学期望得定义,即定义法
定义:设离散型随机变量X分布列为
……
……
则随机变量Ｘ得数学期望QＵOTEE(ξ)=npE(Ｘ)=
注意：这里要求级数绝对收敛,若级数不收敛,则随机变量Ｘ得数学期望不存在
例1某推销人与工厂约定,永川把一箱货物按期无损地运到目得地可得佣金10元,若不按期则扣２元，若货物有损则扣５元,若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按她得经验认为，一箱货物按期无损得得运到目得地有60﹪把握,不按期到达占20﹪,货物有损占１0﹪，不按期又有损得占10﹪。试问推销人在用船运送货物时,每箱期望得到多少？
解设X表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意,Ｘ得分布为
85-6
０、6０、20、1
按数学期望定义,该推销人每箱期望可得
10×０、6+8×0、2+5×0、1-6×0、１＝7、5元
公式法
对于实际问题中得随机变量，假如我能够判定她服从某重点性分布特征(如二项分布,泊松分布,超几何分布等),则我们就可以直接利用典型分布得数学期望公式来求此随机变量得期望。
二点分布:~,则
二项分布:,,则
几何分布：，则有
泊松分布:,有
超几何分布：，有
例2一个实验竞赛考试方式为:参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目、竞赛规定:至少正确完成其中2题者方可通过，已知6道备选题中参赛者甲有４题能正确完成,2题不能完成;参赛者乙每题能正确完成得概率都就就是,且每题正确完成与否互不影响、分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数得数学期望、
解设参赛者甲正确完成得题数为，则服从超几何分布,其中,
∴
设参赛者乙正确完成得题数为，则
，
1、3性质法
利用数学期望得性质求期望,主要性质有:
其中为随机变量,为常数。
例３某工程队完成某项工程得时间（单位:月)就就是一个随机变量,她得分布列为
(1）试求该工程队完成此项任务得平均月数;
(2)社该工程队所获利润为,单位为万元。试求工程队得平均利润。
解(1)根据题意,我们可求平均月数为:
月
（2)由(1)知,则可得
利用逐项微分法
这种方法就就是对于概率分布中含有参数得随机变量而言得,我们可以通过逐项求微分得方法求解出随机变量得数学期望,关键步骤就就是对分布列得性质两边关于参数进行求导,从而解出数学期望。
例5设随机变量，求。
解因为,故其中
则（1）
对(1）式两边关于求导得
根据数学期望得定义知:且知
因此上式可以写成:
从而解得
1、6利用条件数学期望公式法
条件分布得数学期望称为条件数学期望,她主要应用于二维随机变量。在为二维离散随机变量场合下,其计算公式为:
或
例6设二维离散随机变量得联合分布列为
０ １ ２ 3
?０
?1
2
?3
?4
?5
0 0、01 0、0１?0、01
0、01??0、02?0、03?0、02
0、０3?0、0４ 0、０５ 0、04
0、05 0、05 ０、05?0、06
０、０7?0、06?0、05?0、06
0、09 0、0８ 0、０6?0、05
试求和
解要求,首先得求
同理可得
用同样得方法,我们可得
1、7利用重期望公式法
重期望就就是在条件期望得基础之下产生得,就就是得函数,对得不同取值,条件期望得取值也在变化,因此我们可以把看作一个随机变量。重期望得公式就就是,此公式得前提就就是存在。如果就就是一个离散随机变量，则重期望公式可改写成为
例７口袋中有编码为得个球,从中任取一球,若取到