元素个数与集合间的关系
元素个数
知识与方法
1.考查点：集合元素的互异性，列举法表示集合.
2.涉及“点集”的问题，常常利用图象解决.
3.常用数集：实数集R，自然数集N、正整数集或、整数集Z，有理数集Q、空集.
题组一
1.（2020·新课标Ⅲ卷·文·1·★）
已知集合，，则中元素的个数为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】集合，中元素的个数为3
【答案】B
2.（★）
已知集合，，则集合中元素的个数为（）
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】，则，故中元素的个数为2
【答案】D
【提炼】当遇到不够直观的集合时，列几个元素出来观察规律就能理解了.
3.（★）
已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】或，
.
【答案】B
题组二
4.（★）
设集合，，，则M中元素的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】将集合M中a和b所有可能的组合列表如下：
a
b
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
所以.
【答案】B
【提炼】①表格法；②元素互异性.
5.（★）
已知集合，，则B中所含元素的个数为（）A.3 B.6 C.8 D.10
【解析】在集合B中，要满足，，可能的情况列表如下：
xy
1
2
3
4
5
1
0
1
2
3
4
2
0
1
2
3
3
0
1
2
4
0
1
5
0
结合知，，即集合B中的元素个数为10.
【答案】D
题组三
6.（★）
已知集合，则A中元素的个数为（）
A.9 B.8 C.5 D.4
【解析】注意到集合A是一个点集，表示的含义是圆内（含边界）的整点，也就是横、纵坐标都为整数的点，画出图形如图，由图可知圆内共有9个整点，故集合A中有9个元素.
【答案】A
【提炼】点集问题一般用数形结合处理.
7.（★）
已知集合，，则中元素的个数为（）
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】集合A表示圆上的点，集合B表示直线上的点，表示直线与圆的交点，那么只要画出这两条线，就可以知道它们有几个交点，这个题就搞定.如图，肉眼可见，有两个交点，因此集合有2个元素.
【答案】B
8.（2020·新课标Ⅲ卷·理·1·★）
已知集合，，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】，故中元素的个数为4.
【答案】C
【提炼】此题数形结合也可以，但是列举法是最容易理解的.
集合间的关系
知识与方法
关系
自然语言
符号语言
Venn图（维恩图）
子集
集合A中所有元素都在集合B中（即若，则）
（或）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
（或）
集合相等
集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集
题组一
1.（★）
已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【解析】，即，在同一数轴上表示两个集合如下，由图可得.
【答案】B
【提炼】解一元二次不等式先考虑因式分解的方法，可以利用数轴表示集合之间的关系.
2.（★）
设，，则（）
A. B. C. D.
【解析】，，在同一数轴上表示两个集合如图，可得
【答案】B
题组二
3.（2020·上海（春）·1·★）
集合，.若，则_______.
【解析】且.
【答案】3
4.（★）
已知集合，集合.若，则实数_______.
【解析】或.
【答案】1
题组三
5.（★★★）
设集合，.若，则实数a，b必满足（）
A. B. C. D.
【解析】
或或.
如图，或，故或，即.
【答案】D
【提炼】遇到含有参数的集合，画数轴分析是很好的解决方法.
6.（★★★）
设集合，，则下列关系中成立的是（）
A. B. C. D.
【解析】考虑集合Q，相当于根据不等式对任意恒成立，求出m的取值集合即为Q.
当时，恒成立；
当时，恒成立等价于解得.
综上所述，，因为，所以.
【答案】A
【提炼】①一元二次式平方项含参时，要讨论参数是否为零；②一元二次不等式恒成立一般从开口和判别式两个角度考虑.
题组四
7.（★★）
已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】解法1：或，，因为，所以C中必有元素1和2，且C中不能有除1，2，3，4外的元素，故满足条件的集合C有，，，，共4个.
解法2：或，，问题等价于求集合的子集个数，答案为.
【答案】D
题组五
8.（★★）
已知互异的复数a，b满足，集合，则（）
A.2 B.1 C.0 D.
【解析】，或，若结合可解得，此时不满足集合元素互异性；若，两式相减得，a，b是互异的复数.
【答案】D
【提炼】当两个集合相等时，它们的元素对应相等，注意检验集合中元素的互