第18课圆内接正多边形
目标导航
目标导航
课程标准
1.知道圆内接正多边形的定义及相关概念；
2.认识正多边形与圆的关系；
3.会用尺规作一个圆的内接正六边形和正方形；
4.掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法.
知识精讲
知识精讲
知识点01圆内接正多边形的相关概念
圆内接正多边形的定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。
圆内接正多边形的相关概念
正多边形的中点：一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心，如上图点O。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径，如图中的OA,OB,OE。
正多边形的中心角：正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，如图中的。
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距，如图中的OM。
知识点02正多边形的有关计算
与正多边形有关的计算公式（n为正多边形的边数，n3）：
正n边形的每个内角为
正n边形的每个中心角为
正n边形的每个外角为
正n边形的半径R、边心距r、边长a之间的关系为
若正n边形的边长为a，边心距为r，则正n边形的周长，面积
知识点03圆内接正多边形的画法
可利用正多边形和外接圆的关系画正多边形，即作半径为R的正n（n3）边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。有如下两种方法：
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。
注意：
画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
能力拓展
能力拓展
考法01求正多边形的中心角以及边数
【典例1】如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点为正五边形的中心，
∴，
故选：D
【即学即练】如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】C
【详解】解：连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
故选：C．
【典例2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（????）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【即学即练】如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵是内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC?∠AOB=30°
∵是正边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
考法02正多边形和圆
【典例3】如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（）
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】A
【详解】解：连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的直径，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
在中，，，
矩形的面积．
故选：A．
【即学即练】如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
的面积，
故选：D．
【典例4】如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（????）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，，
即，
∴，
∵正六边形正六边形，
∴正六边形的周长∶正六边形的周长．
故选：B．
【即学即练