第05讲平方根
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根；
3．掌握平方根与算术平方根的有关运算。
知识点1算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”,
（2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,
（3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。
知识点2平方根
（1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,
（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,
（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。
知识点3开平方
（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；
（2）
区别：取值范围不同：中a为任意实数；中a；
被开方数不同：中被开方数为；中被开方数为a；
运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。
联系：结果为非负数；中a≧0时，=
考点一：算术平方根与平方根概念理解
例1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（????）
A．64是8的算术平方根B．9是的算术平方根
C．的算术平方根是D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1
【变式1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列语句写成数字式子正确的是（????）
A．9是81的算术平方根：B．5是的算术平方根：
C．是36的平方根：D．是4的负的平方根：
【变式1-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面语句中正确的是（????）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的平方根是 D．的算术平方根是
【变式1-3】（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）下列说法正确的是（????）
A．的算术平方根是3 B．9的平方根是3
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．平方根等于本身的数是0和1
考点二：求一个数的算术平方根
例2.（23-24七年级下·吉林·期中）4的算术平方根是．
【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）的算术平方根是．
【变式2-2】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）16的平方根是，．
【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）=，=，=，=，=，对于任意实数0，猜想=．
（2），，，，对于任意非负数a，猜想．
考点三：利用算术平方根的非负性解题
例3.（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，那么的值为（????）
A． B．1 C． D．
【变式3-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）已知x，y满足，则()
A． B．1 C．5 D．
【变式3-2】（23-24七年级下·云南昆明·期中）若，则的值为（????）
A．0 B．1 C． D．2
【变式3-3】（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知，则的值等于（???）
A．2 B． C．4 D．
考点四：求算术平方根的整数部分和小数部分
例4.若的整数部分为，小数部分为，则，．
【变式4-1】（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是．小数部分是．
【变式4-2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则，．
【变式4-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为．
考点五：与算术平方根有关的规律探索题
例5.（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空：
（1）填表并观察规律：
0.0004
0.04
4
400
（2）根据你发现的规律填空：
已知：，则______；
已知：，，则______．
【变式5-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律：
a
0.0064
0.64
64
6400
___________
___________
___________
___________
（2）根据你发现的规律填空：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
【变式5-2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶
a
…
1
…
…
x
1
y
…
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶
①已知，则___