小专题7作图题与平行四边形的综合

类型1尺规作图

1.(2024·赤峰)如图,在△ABC中,D是AB的中点.

(1)求作：AC的垂直平分线l(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).

(2)若l交AC于点E,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接BE,CF.补全图形,并证明四边形BCFE是平行四边形.

2.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹，不写作法).

(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.

3.如图,在?ABCD中,ADAB.

(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).

(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E,AF⊥BE,垂足为O,交BC于点F,连接EF.求证:四边形ABFE为菱形.

类型2无刻度直尺作图

4.(2024·江西)如图,AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).

(1)如图1,过点B作AC的垂线.

(2)如图2,E为线段AB的中点,过点B作AC的平行线.

类型3补全图形

5.如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,过点B作BF⊥BE,交DA的延长线于点F,作∠CBF的平分线BP,交边AD于点P.

(1)根据题意，补全图形(画图工具不限).

(2)求证:BE=BF.

(3)若AB=3,CE=1,求AP的长.

微专题6特殊平行四边形中等面积法的应用

【模型展示】如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,BM⊥AC于点M.求证:PE+PF=BM.

证明：连接AP.

∵PE⊥AB,PF⊥AC,BM⊥AC,

∴S△ABP=,S△ACP=,S△ABC=.

∵+=S△ABC,

∴

∵AB=AC,∴PE+PF=BM.

针对训练

1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不与点A，D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E,F,则PE+PF=.

2.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的值为.

3.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值是.

小专题7作图题与平行四边形的综合

1.解:(1)图略.(2)证明:补全图形略.由作图可知,AE=EC.∵D是AB的中点,∴AD=DB.∴DE∥BC,BC=2DE.∵EF=2DE,∴EF=BC.∵EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形.

2.解:(1)图略.(2)证明:由(1)得,∠ECF=∠A,∴CF∥AB.∵BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=BD.∴□CDBF是菱形.

3.解:(1)图略.(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠FBE=∠AEB.∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE.∵AO⊥BE,∴BO=EO,∠AOB=∠FOB=90°.在△ABO和△FBO中,.△ABO≌△FBO(ASA).∴AO=FO.∴四边形ABFE为平行四边形.又∵AF⊥BE,∴平行四边形ABFE为菱形.

4.解:(1)图略.(2)图略.

5.解:(1)图略.(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠C=∠BAD=90°,AB=BC.∴∠ABE+∠CBE=90°.∵BF⊥BE,∴∠FBE=∠ABF+∠ABE=90°.∴∠ABF=∠CBE.∵∠BAD+∠BAF=180°,∴∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C=90°.∴△CBE≌△ABF(ASA).∴BE=BF.(3)在Rt△EBC中,BC=AB=3,CE=1,∴BE=CE2+BC2=10.由(2)得,BF=BE=

微专题6

【模型展示】12

1.1252.2453.