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3一元一次方程的应用
第1课时几何图形问题
【教学目标】
1.能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想。
2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系。
3.经历运用方程解决几何图形问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识。
【教学重点】寻找几何图形问题中的等量关系，建立方程。
【教学难点】抓住几何图形变化中的不变量，确定等量关系。
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
[设计意图]
借助橡皮泥的变化，激发学生的学习兴趣，引导学生关注其中的数量关系，从而引出本节课的课题。[情境引入]
如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱，请思考下列几个问题：
（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了？还有哪些量改变了？
（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？
接下来这节课我们就来学习一元一次方程的应用。[教学建议]
教师可事先准备一块橡皮泥作为演示道具，指定学生代表回答问题，并带学生回顾圆柱的体积公式，为后续学习做准备。
二、问题引入，合作探究
[设计意图]
借助几何图形问题，通过分析的方式，培养学生从问题中找等量关系、抽象出方程模型、将实际问题转化为数学问题的能力，感受方程模型在解决实际问题中的作用，增强模型观念与应用意识。 探究点利用一元一次方程解决几何图形问题
1.图形的等积变化
问题某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
（1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、高、容积。
（2）设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设新包装的高度为xcm。
根据等量关系，列出方程：
解这个方程，得x=14.52。
因此，易拉罐的高度变为14.52cm。
思考（1）根据问题列方程时的关键是什么？
列方程时，关键是找出问题中的等量关系。
（2）用方程解决实际问题的基本步骤是什么？
理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答。
2.图形的等长变化
例（教材P147例1）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
（1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？
（3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？
分析提问：①本题涉及哪些量？
铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积。
②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化？
③题中有怎样的等量关系？
等量关系：（长+宽）×2=周长（周长就是铁丝的长度）。
④如图，结合（1）（2）问题意，若设长方形的宽为xm，则长方形的长可怎么表示？试用含x的代数式在下面图中表示出来。
（1）（2）解：（1）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+1.4）m。
根据题意，得2（x+1.4）+2x=10。解这个方程，得x=1.8。
1.8+1.4=3.2。此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m。
（2）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m。
根据题意，得2（x+0.8）+2x=10。解这个方程，得x=2.1。
2.1+0.8=2.9。此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09（m2），（1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76（m2）。此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大6.09-5.76=0.33（m2）。
（3）设正方形的边长为xm。
根据题意，得4x=10。解这个方程，得x=2.5。
正方形的边长为2.5m，面积为2.5×2.5=6.25（m2），
比（2）中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16（m2）。
思考在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。
所列方程的两边分别表示长方形的周长和铁丝的长度，列方程的思路是先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程。
归纳总结：
[对应训练]
教材P149随堂练习。
[教学建议]
指定学生代表回答，教师可沿用活动一中的引入酌情说明，引导学生总结用方程解决实际问题的基本步骤。
[教学建议