第2课时锐角的余弦和正切
教师备课素材示例
●归纳导入1.如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得__eq\f(AC1,AB1)＝eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(AC3,AB3)__＝k.在Rt△ABC中，当锐角A的度数__一定__时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是__唯一确定__的．
2．当∠A＝30°或∠A＝45°时，∠A的邻边与斜边的比是多少？
【归纳】当锐角A的度数一定时，无论直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是唯一确定的．
【教学与建议】教学：通过锐角确定的直角三角形图形的变化，让学生发现邻边与斜边的比是确定的．建议：让学生自主发现，归纳规律．
●复习导入复习提问：
1．在直角三角形中，当一个锐角的大小一定时，它的对边与斜边之间有什么关系？
2．什么是正弦？如何求一个角的正弦？
3．探究正弦的概念时，我们用了什么方法？
4．类比正弦的情况，当锐角A大小确定时，∠A邻边与斜边的比也是确定的吗？
【教学与建议】教学：先复习提问，再类比探究锐角的正弦的过程来探究锐角的余弦和正切．建议：通过画图强调锐角的正弦的内涵是无论直角三角形大小如何，当锐角的度数一定时，它的对边与斜边的比都是固定值．
*命题角度1直接求直角三角形锐角的三角函数值
已知直角三角形的两边长，用勾股定理求出第三边长，再根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则cosB＝__eq\f(12,13)__，tanA＝__eq\f(12,5)__．
*命题角度2构造直角三角形，求锐角的三角函数值
根据等腰三角形、菱形、圆等图形的性质，构造直角三角形，再求直角三角形的锐角三角函数值．
【例2】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)
A．2B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(1,2)
【例3】已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长为10cm，则底角的正切值为__eq\f(\r(11),5)__．
【例4】如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为__eq\f(2,5)__.
*命题角度3转化等角，求锐角的三角函数值
借助几何图形的性质或全等(或相似)等知识进行等角的转化，从而求解．
【例5】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B)
A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(2),4)
eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6题图）))
【例6】如图所示，∠1的正切值等于__eq\f(1,3)__．
*命题角度4利用已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值
根据已知角的三角函数值确定其他三角函数值，设参数表示两边长，结合勾股定理及锐角三角函数的定义求解．
【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(3,5)，则cosB的值是(B)
A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)
【例8】在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,3)，则cosB＝__eq\f(\r(10),10)__．
*命题角度5利用锐角三角函数求边长
根据锐角三角函数的定义及三角函数值表示出直角三角形的边，结合勾股定理求解．
【例9】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝eq\f(5,7)，则BC的长是(D)
A．10B．8C．4eq\r(3)D．2eq\r(6)
【例10】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sinA的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD，
∴CD＝eq\f(2S△ABC,AB)＝eq\f(2×84,15)＝eq\f(56,5).
在Rt△ACD中，sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\f(56,5),13)＝eq\f(56,65).
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