第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时锐角的正弦
教师备课素材示例
●情境导入意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm.
根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
【教学与建议】教学：对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，那么它的边角之间有什么关系呢？本章将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题．建议：根据问题中的数据，无法用已学过的知识和方法解决这个问题．学生会产生“怎么办呢？”的疑惑．由此导入学习锐角三角函数知识．
●复习导入问题：1.直角三角形边和角有哪些性质？
2．有一个锐角是30°的直角三角形有什么性质？
3．有一个锐角是45°的直角三角形有什么性质？
4．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
【教学与建议】教学：通过复习直角三角形中30°，45°角的性质，导入正弦概念，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：教师提出问题后，学生积极思考，由问题4导入课题．
*命题角度1在直角三角形中求锐角的正弦值
在直角三角形中，锐角的正弦表示这个角的对边与斜边的比，借助勾股定理或者直接根据定义可求出锐角的正弦值．
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB的值是(D)
A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,3)D．eq\f(3,5)
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是__eq\f(\r(5),5)__．
*命题角度2根据网格图求锐角的正弦值
把三角形放到网格图中，可直接借助网格图或通过作辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，然后求某个内角的正弦值．
【例3】如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于(A)
A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(\r(26),13)D．eq\f(\r(13),13)
【例4】如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是__eq\f(2\r(13),13)__．
*命题角度3利用正弦值求直角三角形的边
在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值，确定一条直角边的长，可求直角三角形其他各边的长．
【例5】在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，sinA＝eq\f(3,5)，则AB的长是(D)
A．12B．8C．9D．10
【例6】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E.若sin∠ADE＝eq\f(4,5)，AB＝4，则AD的长为__eq\f(16,3)__．
*命题角度4根据平面直角坐标系中点的坐标求锐角的正弦值
利用点的横、纵坐标的含义，可构造出直角三角形求平面直角坐标系中的锐角的正弦值．
【例7】如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sinα等于(A)
A．eq\f(2\r(13),13)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(7),3)
【例8】直线y＝eq\f(1,2)x＋2与x轴相交于点A，与y轴交于点B，则∠OAB的正弦值是__eq\f(\r(5),5)__．
*命题角度5构造直角三角形求锐角的正弦值
求一个锐角的正弦值时，若这个角不在直角三角形中，一般需要等角代换，或添加辅助线，构造直角三角形求解．
【例9】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB＝90°，则sinα的值是__eq\f(\r(10),10)__.
高效课堂教学设计
1．理解锐角正弦的概念，能够运用sinA表示直角三角形两边的比值及进行简单的计算．
2．体会数形结