初中数学竞赛精品原则教程及练习(66）
辅助圆
一、内容提纲
通过两个点可以画无数个圆；通过三个点作圆,必要是不在同一直线上三个点,可以作一种圆，并且只能作一种圆.
通过四点作圆（即四点共圆)有如下鉴定定理：
到一种定点距离相等所有点在同一种圆上（圆定义）.
一组对角互补四边形顶点在同一圆上.
一种外角等于它内对角四边形顶点共圆．
同底同侧顶角相等三角形顶点共圆．
推论：同斜边直角三角形顶点共圆(斜边就是圆直径).
画出辅助圆就可以应用圆有关性质．常用有:
同弧所对圆周角相等.
圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.
圆心角（圆周角)、弧、弦、弦心距等量关系．
圆中成比例线段定理:相交弦定理,切割线定理.
证明型如ab+ｃd＝m2常用切割线定理
二、例题
例１.已知:点O是△ＡＢC外心,BＥ,CＤ是高.
求证:AO⊥DＥ
证明:延长AO交△AＢC外接圆于F，连接BF.
∵Ｏ是△ABC外心
∴AF是△AＢC外接圆直径,∠ＡBＦ=Rt∠.
∵ＢE,CD是高，∠BDC=∠CEB=Ｒt∠.
∴B，C，E，Ｄ四点共圆（同斜边直角三角形顶点共圆）
∴∠ADＥ=∠ECB＝∠F.
∴∠ＡGD=∠ＡBF＝Rｔ∠，
即AO⊥DE.
例２.正方形AＢCＤ中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点,且∠OPB＝４5，
PA∶ＰB＝5∶１4，则PB=____cm.
解：∵∠ＯPB＝∠ＯAB=45
∴ABOP四点共圆(同底同侧顶角相等三角形顶点共圆)
∴∠APB＝∠AOB=Rt∠.
在Rｔ△APＢ中，设PA为5x,则PB是1４x.
∴(5x)２+(14x)２=1９89．
解得ｘ=３，１4ｘ．=4２．
∴PB=42（cm).
例3．已知:平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E,AF⊥ＢC于F.
求证：AＢ×AE+ＣB×ＣＦ=AC２.
证明：作BＧ⊥AC交ＡC于G.
∵CＥ⊥AB，AF⊥BC.
∴A,F,B,G和B,Ｅ，Ｃ,G分别共圆.
（对角互补四边形顶点共圆)
根据切割线定理，得
AB×AE＝ＡＧ×ＡＣ
CＢ×CＦ=CG×AC
∴AB×AE＋ＣＢ×ＣF=ＡＣ(AＧ+CG)=AＣ2.
例4.已知：AＤ是Ｒt△ＡBC斜边高，角平分线ＢE交ＡD于F.
求证:AE2=AＢ2-BE×BＦ.
分析：根据同角余角相等，可证AE=AF.
由射影定理AＢ2=BＤ×BC.
故只要证AE×AF=ＢD×BC－ＢE×ＢF
发明应用切割线定理条件，作△ＡBC
外接圆并延长BE交圆于G,得
F、D、C、G四点共圆.
∴ＢD×BC=ＢF×BG.
∴右边=BF×ＢG.－BE×BF=ＢF（BＧ－ＢE)＝BF×ＥＧ
从而转为要证AE×AF＝BF×BG.即
只要证△ＡEＧ∽△BFA……(证明由同学自已完毕)
例5已知:从⊙O外一点P作⊙O两条切线PA,PＢ切点A和B,在AB上任取一点Ｃ,通过点C作OC垂线交PA于M，交ＰB于N.
求证:OＭ=OＮ.
证明：连结ＯA，OB.
∵A,Ｂ是切点∴ＯA⊥PA，ＯB⊥ＰＢ．
又∵OＣ⊥ＭN．
∴Ａ,M，C,O和B,N,Ｏ,C分别共圆.
(辅助圆可以不画)
根据同弧所对圆周角相等，得
∠OAC＝∠OMＣ，∠ONＣ=∠OBC.
∵OＡ=OB,
∴∠OＡＣ=∠OBC.
∴∠OMC=∠ＯNC，
∴OM=ON.
三、练习６6
1.已知：ＡD是△ABC高,ＤE,ＤF分别是△ADB和△ADC高
求证:B，C，F,Ｅ四点共圆
2.已知：两条线段ＡB和ＣD相交于点P，且ＰA×PＢ=PC×PD.
求证：Ａ,Ｂ，C,D四点共圆．
3.已知:⊙Ｏ和⊙O，相交于A，B，过点A作一直线交⊙O于C，交⊙Ｏ,于D，分别过点C和点D作⊙Ｏ和⊙Ｏ，切线相交于点P.
求证：P，C，Ｂ,D四点在同一种圆上.
４．已知：E是正方形ＡBCD边ＢC上一点,过点Ｅ作AＥ垂线和∠C外角平分线交于点Ｆ.
求证：AE=AＦ.
5．已知：M是平行四边形ＡＢCＤ对角线AC上一点,过点M画两组对边垂线段分别交AＢ，CD于E，Ｆ交ＡD,ＢC于G,Ｈ．
求证:EG∥FＨ.
6.已知：△ABC三条高AＤ,ＢE,CＦ交于点H．
求证:BH×BE+CH×CF＝BC2．
７.已知:AB是⊙O直径，C是半圆上一点,CD⊥ＡB于D,G是CＤ上一点，ＡＧ延长线交半圆于H.
求证：CD2+ＡD2=ＡＧ×AH．
8.已知:AD是△ABC角平分线.
求证:AD2＝AＢ×AC.=DB×DC
9.已知：凸五边形ABＣDE中.∠Ａ=3α，BC=CD＝DE,∠C=∠D=１8０.=2α.
求证:AC,AＤ，ＡE三等分∠A．
10．求证:圆上一点到圆内接四边形两组对边距离积相等
11．求证:圆内接四边形两组对边积和等于两对角线积(