2025年亚太地区数学奥林匹克（APMO）模拟试卷：代数与几何应用难题攻克指南
一、多项式运算与因式分解
要求：运用多项式运算及因式分解的技巧，解答下列各题。
1.设\(a,b,c\)是等差数列的三个连续项，且\(a^2+b^2+c^2=21\)，求\(a+b+c\)的值。
2.已知\(x^3-3x^2+4x-12\)可被\(x-2\)整除，求另一个因式。
3.若\(x^2+px+q\)的两个根为\(2\)和\(3\)，求\(p\)和\(q\)的值。
4.将多项式\(2x^3-5x^2+4x-3\)分解因式。
5.设\(a,b,c\)是等比数列的三个连续项，且\(a^2+b^2+c^2=21\)，求\(a+b+c\)的值。
6.若\(x^3-3x^2+4x-12\)可被\(x-2\)整除，求另一个因式。
7.已知\(x^2+px+q\)的两个根为\(2\)和\(3\)，求\(p\)和\(q\)的值。
8.将多项式\(2x^3-5x^2+4x-3\)分解因式。
二、方程与不等式
要求：运用方程与不等式的知识，解答下列各题。
1.解方程\(\frac{x+3}{2}-\frac{2x-1}{3}=1\)。
2.解不等式\(3x-22x+1\)。
3.求方程\(x^2-5x+6=0\)的解。
4.解不等式组\(\begin{cases}2x-35\\x+41\end{cases}\)。
5.求方程\(x^2-5x+6=0\)的解。
6.解不等式\(3x-22x+1\)。
7.解方程\(\frac{x+3}{2}-\frac{2x-1}{3}=1\)。
8.解不等式组\(\begin{cases}2x-35\\x+41\end{cases}\)。
三、函数与图像
要求：运用函数与图像的知识，解答下列各题。
1.已知函数\(f(x)=2x-3\)，求\(f(2)\)的值。
2.若函数\(f(x)=3x^2-2x+1\)的图像与\(x\)轴相交于点\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的长度。
3.求函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零点。
4.若函数\(f(x)=3x^2-2x+1\)的图像与\(x\)轴相交于点\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的长度。
5.求函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零点。
6.已知函数\(f(x)=2x-3\)，求\(f(2)\)的值。
7.若函数\(f(x)=3x^2-2x+1\)的图像与\(x\)轴相交于点\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的长度。
8.求函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零点。
四、数列与组合
要求：运用数列与组合的知识，解答下列各题。
1.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=n^2+n\)，求\(a_5\)的值。
2.从1到10的自然数中，任取3个不同的数，求取出的三个数能构成一个等差数列的概率。
3.设\(A=\{1,2,3,4,5\}\)，\(B=\{2,4,6,8,10\}\)，求\(A\capB\)的元素个数。
4.若数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2n+1\)，求前10项的和。
5.从1到10的自然数中，任取3个不同的数，求取出的三个数能构成一个等差数列的概率。
6.设\(A=\{1,2,3,4,5\}\)，\(B=\{2,4,6,8,10\}\)，求\(A\capB\)的元素个数。
五、解析几何
要求：运用解析几何的知识，解答下列各题。
1.已知点\(P(2,3)\)和直线\(y=2x-1\)，求点\(P\)到直线的距离。
2.直线\(y=3x+4\)与圆\(x^2+y^2=25\)相交于\(A\)和\(B\)两点，求\(AB\)的长度。
3.已知直线\(y=2x+1\)与圆\(x^2+y^2=9\)相切于点\(C\)，求\(C\)