第09讲二次根式的乘除
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掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
2．掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。
知识点一：二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
知识点二：二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广：.
知识点三：最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
考点一：二次根式的乘法
例1．（2024·山西忻州·三模）计算：．
【变式1-1】（2024·山西太原·二模）计算的结果为．
【变式1-2】（2024·山西晋城·二模）计算的结果为．
【变式1-3】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）计算的结果为．
考点二：二次根式的除法
例2.（23-24八年级下·福建福州·期中）计算：．
【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为．
【变式2-2】（23-24八年级下·湖南长沙·期中）计算．
【变式2-3】（23-24八年级下·天津和平·期中）计算：；；．
考点三：二次根式的乘除混合运算
例3.（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：．
【变式3-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：．
【变式3-2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：．
【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
考点四：最简二次根式的判断
例4.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期中）下列二次根式不是最简二次根式的是（????）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）下列各式中，为最简二次根式的是（????）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）下列根式中，属于最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）在根式①；②；③；④，最简二次根式是（????）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
考点五：化为最简二次根式
例5.（23-24八年级下·山东烟台·期中）将化为最简二次根式为．
【变式5-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是．
【变式5-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）化简：．
【变式5-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）化简：．
考点六：已知最简二次根式求参数
例6.（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值．
【变式6-1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：．
【变式6-2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是．
【变式6-3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为．
一、单选题
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）化简的结果正确的是（???）
A． B．3 C． D．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）下列各式中，最简二次根式为（????）
A． B． C． D．
3．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算结果正确的是（）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算的结果是（????）
A． B． C． D．
5．（2021八年级上·全国·专题练习）计算等于（???）
A． B． C．