第15讲确定圆的条件
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课程标准
1.知道不在同一直线上的三个点确定一个圆；
2.会用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆；
3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念及外心的性质.
知识精讲
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知识点01确定圆的条件
由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。确定圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
注意：
（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
知识点02三角形的外接圆和外心
1、三角形的外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形称之为这个圆的内接三角形。
三角形的外心
三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。即随三角形形状的变化，三角形外心的位置也发生变化，如图：
三角形外心的性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。
三角形外接圆的作法
作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
以该交点为圆心，以交点到三角形任意一顶点的距离为半径作圆即可。
如图：
能力拓展
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考法01确定圆的条件
【典例1】下列说法中，正确的是（?????）
A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．周长相等的圆是等圆
【答案】D
【详解】解：A．不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，选项说法错误，不符合题意；
D．周长相等的圆是等圆，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【即学即练】下列命题正确的是（????）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
【答案】C
【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意．
故选：C
【典例2】下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（???）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误；
直径是圆中最长的弦，故③正确；
经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【即学即练】有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
圆的两条平行弦所夹的弧相等，故②正确；
任意一个三角形有且仅有一个外接圆，故③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故④错误；
直径是圆中最长的弦，故⑤正确．
综上可知错误的个数有2个．
故选A．
考法02三角形外心的应用
【典例3】如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（?????）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10，AD=CD=8，
在△ADF中，∵，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC=，
故选：B．
【即学即练】如图，已知点是的外心，点、分别是、的中点，连接、分别交于点、，若，，，则的面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，