[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案C
解析对于A，m与l可能平行或异面，故A错误；对于B，D，m与n可能平行、相交或异面，故B，D错误；对于C，因为n⊥β，l?β，所以n⊥l，故C正确．故选C.
2．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
答案B
解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．故选B.
3．(2016·雅安期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线有()
A．1条 B．2条
C．4条 D．无数条
答案C
解析若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1平行即可，同理体对角线A1C，AC1，DB1也满足条件．则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条．故选C.
4．(2017·宁德期末)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为()
A．0° B．45°
C．60° D．90°
答案D
解析如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE－CMFB，
∵CD∥BN，CD⊥AM，
∴AM⊥BN，
∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.故选D.
5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()
A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)
C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)
答案D
解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).故选D.
6．(2018·江西景德镇模拟)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．异面且垂直 D．异面但不垂直
答案C
解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面．故选C.
7．(2017·河北唐山模拟)已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，则异面直线PA与MN所成角的大小是()
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案A
解析取AC的中点O，连接OM，ON，则ON∥AP,ON＝eq\f(1,2)AP,OM∥BC,OM＝eq\f(1,2)BC，所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角)，在△ONM中，OM＝2，ON＝2eq\r(3)，MN＝4，由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，则∠ONM＝30°.故选A.
8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()
A．8 B．9
C．10 D．11
答案A
解析如图，CE?平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8.故选A.
9．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()
答案D
解析①在A中易证PS∥QR，
∴P，Q，R，S四点共面．