考点27圆锥曲线的综合问题
1.【2020新高考Ⅰ卷】已知曲线C:mx2+ny2
A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n0，则C是圆，其半径为n
C.若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±?mnx
D.若
【答案】ACD?
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，属于中档题．
根据m，n的范围，结合椭圆、双曲线、圆及直线的标准方程一一判断即可．
【解答】
解：当m,n≠0时，mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
若mn0，则1m1n，故x21m+y21n=1表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
若m=n0，mx2+ny2
故选ACD．
2.【2020全国Ⅱ卷】已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1ab0的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x
(1)求C1
(2)设M是C1与C2的公共点，若MF=5，求C1
【答案】解：(1)?∵F为椭圆C1的右焦点，且AB垂直x轴，∴F(c,0)，AB
设抛物线C2方程为y2=2px(p0)，
∵F为抛物线C2的焦点，且
∴F(p2,0)，
∵CD=43AB，C
整理得4c=8b23a
设C1的离心率为e，则2e2+3e?2=0，解得e=1
故椭圆C1的离心率为1
(2)由(1)知a=2c，b=3c，p=2c，
∴C1：x
联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx?12c
∴x=23c或x=?6c(舍)，
所以C1与C2的标准方程分别为x2
?
【解析】本题主要考查椭圆和抛物线的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
(1)根据题意，列出椭圆a,b,c之间的齐次方程，求出离心率；
(2)由(1)可设C1与C2的标准方程，联立求出M的横坐标，根据抛物线焦半经公式，即可求出c的值，从而得到C1
3.【2020浙江】如图，已知椭圆C1：x22+y2=1，抛物线C2：y2=2px(p0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点．过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B,M不同于A)．
(1)若p=116
【答案】解：(1)当p=116，则?p2=132，则抛物线C2的焦点坐标(132,0)，
(2)当直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
由题意可设直线l：x=my+tm≠0,t≠0，点Ax0,y0，
将直线l的方程代入椭圆C1：x22+y2=1得
m2+2y2+2mty+t2?2=0，
∵M为线段AB的中点，
∴点M的纵坐标yM=?mtm2+2，
将直线l的方程代入抛物线C
【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．
(1)根据p=116，可得?p2=132，即可得到抛物线的焦点坐标；
(2)由题意可设直线l：x=my+tm≠0,t≠0，点Ax0
4.【2023新高考Ⅰ卷】在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离，记动点P的轨迹为W
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33
【答案】解：(1)设点P的坐标为(x,y)，由题意得y=
整理，得y=x
故W的方程为：y=x
(2)设矩形的三个顶点Aa,a2+14，Bb,b2
令kAB=a+b=m0，kBC
设矩形的周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|，c?a=n?m=n+1
则12C=AB+BC
令f(x)=
则f′(x)=2
令f′(x)=0,得x=22,当x22
所以f(x)≥f
所以12C≥274=3
等号不能同时成立，所以C3
?
【解析】本题考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长的求解，利用导数求最值，属于压轴题．
(1)????设出点P的坐标，由距离公式即可求解；
(2)????由轨迹方程设出三点坐标，由对称性结合弦长公式表示出矩形的周长，利用导数求最值即可求解．
5.【2022全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A(0,?2)，B(32,?1)两点
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,?2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH
【答案】解：(1)设E的方程为x2a2+y2b2=1，将A(0,?2)，B(32,?1)两点代入得
4b2=194a2+1b2=1，解得a2=3，b2=4，故E的方程为x23+y24=1．
(2)由A(0,?2)，B(32,?1)可得直线AB:y=23x?2
?①若过P(1,?2)的直线的斜率不存在，直线为x=1.代入x23+y24=1，可得M(1,