专题17最值问题中的将军饮马模型
【模型展示】
特点
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为将军饮马的问题广泛流传。
实际问题：应该怎样走才能使路程最短?
作图问题：在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题.
结论
AC+BC最短
【模型证明】
解决方案
(1)现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
AC+BC最短（两点之间线段最短）
(2)现在假设点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
作法：
（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l相交于点C．
则点C即为所求．
所作的AC+BC最短吗？请说明理由？
【证明】
如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′，
AC′+BC′=AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC+BC＜AC′+BC′．
即AC+BC最短．
【题型演练】
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（????）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．5
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（????）
A．4 B． C． D．5
3．如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（?????）
A． B．
C． D．
4．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（????）
A． B．3 C．2 D．4
5．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（????）．
A． B．
C． D．
6．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（????）
A．2 B． C． D．1
7．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）
A． B．2 C．2 D．3
8．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（????）
A． B． C．6 D．3
二、填空题
9．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
10．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
11．如图，等边的边长为4，点是边的中点，点是的中线上的动点，则的最小值是_____．
12．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
13．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为50；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的序号是______________
16．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．
17．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是________．
三、解答题
18．如图，在R