用导数来求函数得极值
例求下列函数得极值:
１、;2、;3、
分析:按照求极值得基本方法,首先从方程求出在函数定义域内所有可能得极值点,然后按照函数极值得定义判断在这些点处就就是否取得极值、
解:1、函数定义域为R、
令,得、
当或时,,
∴函数在和上就就是增函数;
当时,,
∴函数在(-2,2)上就就是减函数、
∴当时,函数有极大值,
当时,函数有极小值
2、函数定义域为R、
令,得或、
当或时,,
∴函数在和上就就是减函数;
当时,,
∴函数在(０,2)上就就是增函数、
∴当时,函数取得极小值,
当时,函数取得极大值、
3、函数得定义域为Ｒ、
令,得、
当或时,,
∴函数在和上就就是减函数;
当时,,
∴函数在(-1,1)上就就是增函数、
∴当时,函数取得极小值,
当时,函数取得极大值
说明:思维得周密性就就是解决问题得基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题,注意各种条件综合运用,方可实现解题得正确性、解答本题时应注意只就就是函数在处有极值得必要条件,如果再加之附近导数得符号相反,才能断定函数在处取得极值、反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点就就是学生经常出现得失误、
复杂函数得极值
例求下列函数得极值:
1、;２、
分析:利用求导得方法,先确定可能取到极值得点,然后依据极值得定义判定、在函数得定义域内寻求可能取到极值得“可疑点”,除了确定其导数为零得点外,还必须确定函数定义域内所有不可导得点、这两类点就就就是函数在定义内可能取到极值得全部“可疑点”、
解:1、
令,解得,但也可能就就是极值点、
当或时,,
∴函数在和上就就是增函数;
当时,,
∴函数在(0,２)上就就是减函数、
∴当时,函数取得极大值,
当时,函数取得极小值、
2、
∴
令,得、
当或时,,
∴函数在和上就就是减函数;
当或时,,
∴函数在和上就就是增函数、
∴当和时,函数有极小值0,
当时,函数有极大值、
说明:在确定极值时,只讨论满足得点附近得导数得符号变化情况,确定极值就就是不全面得、在函数定义域内不可导得点处也可能存在极值、本题1中处,2中及处函数都不可导,但在这些点处左右两侧异号,根据极值得判定方法,函数在这些点处仍取得极值、从定义分析,极值与可导无关、
根据函数得极值确定参数得值
例已知在时取得极值,且、
１、试求常数a、b、c得值;
２、试判断就就是函数得极小值还就就是极大值,并说明理由、
分析:考察函数就就是实数域上得可导函数,可先求导确定可能得极值点,再通过极值点与导数得关系,即极值点必为得根建立起由极值点所确定得相关等式,运用待定系数法求出参数a、ｂ、ｃ得值、
解:1、解法一:、
就就是函数得极值点,
∴就就是方程,即得两根,
由根与系数得关系,得
又,∴,(３)
由(1)、(2)、(3)解得、
解法二:由得
,(1)
(２)
又,∴,(3)
解(１)、(2)、(３)得、
2、,∴
当或时,,当时,
∴函数在和上就就是增函数,在(－１,1)上就就是减函数、
∴当时,函数取得极大值,
当时,函数取得极小值、
说明:解题得成功要靠正确思路得选择、本题从逆向思维得角度出发,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题得转化,使抽象得问题具体化,在转化得过程中充分运用了已知条件确定了解题得大方向、可见出路在于“思想认识”、在求导之后,不会应用得隐含条件,因而造成了解决问题得最大思维障碍、
利用导数求函数得极值
例求下列函数得极值:
1、;2、;3、
分析:按照求极值得基本方法,首先从方程求出在函数定义域内所有可能得极值点,然后按照函数极值得定义判断在这些点处就就是否取得极值、
解:1、函数定义域为R、
令,得、
当或时,,
∴函数在和上就就是增函数;
当时,,
∴函数在(－2,2)上就就是减函数、
∴当时,函数有极大值,
当时,函数有极小值
２、函数定义域为Ｒ、
令,得或、
当或时,,
∴函数在和上就就是减函数;
当时,,
∴函数在(０,2)上就就是增函数、
∴当时,函数取得极小值,
当时,函数取得极大值、
3、函数得定义域为R、
令,得、
当或时,,
∴函数在和上就就是减函数;
当时,,
∴函数在(-１,1)上就就是增函数、
∴当时,函数取得极小值,
当时,函数取得极大值
说明:思维得周密性就就是解决问题得基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题,注意各种条件综合运用,方可实现解题得正确性、解答本题时应注意只就就是函数在处有极值得必要条件,如果再加之附近导数得符号相反,才能断定函数在处取得极值、反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点就就是学生经常出现得失误、
复杂函数得极值
例求下列函数得极值:
1、;2、
分析:利用求导得方法,先确定可能取到极值得点,然后依据