课题
方差
课时
2课时(90min)
教学目标
知识技能目标：
(1)理解方差、标准差的概念
(2)能够利用方差的定义和性质计算随机变量的方差和标准差
(3)掌握用切比雪夫不等式估算随机变量概率的方法.
素质目标：
(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法
(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力
教学重难点
教学重点：方差、标准差的概念
教学难点：用切比雪夫不等式估算随机变量概率的方法
教学方法
讲练结合法、问答法、讨论法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学过程
主要教学内容及步骤
课前任务
【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解方
差的相关知识
【学生】完成课前任务
考勤
【教师】使用APP进行签到
【学生】按照老师要求签到
互动导入
【教师】提出问题：
什么是方差?
【学生】思考、讨论、回答
传授新知
【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解方差的相关知识
【教师】通过例子，引出方差的概念
先从例子说起.例如，有一批灯泡，其平均寿命是E(X)=1000h,仅由这一指标我们还不能判定这批灯
泡的质量好坏.事实上，有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950～1050h;也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有1300h,另一半却是质量很差的，其寿命大约只有700h.为要评定这批灯泡质量的好坏，还
需进一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度.若偏离程度较小，表示质量比较稳定.从这个意义上来说，我们认为质量较好.
前面也曾提到一个白领一年十二个月的收入是一个随机变量，但人们往往关注月平均收入，但两份月平均收入相同的工作，哪份工作会更好呢?这个时候就要考虑每个月实际收入和平均收入的偏离程度.
由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的方法去度量这个偏离程度呢?容易看到，E{IX-E(X)}能度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.但由于此式带有绝对值，计算不便，所以，通常用E[X-E(X)2来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.
由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的方法去度量这个偏离程
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度呢?容易看到，E{|X-E(X)|}能度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.但由于此式带有绝对值，计算不便，所以，通常用E{[X-E(X)2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.
这就是本节要介绍的重要概念——方差.
一、方差的定义
【教师】提出方差和标准差的定义
定义1设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)2}或Var(x),即
D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)2}
在实际应用中，还引入了D(X),记为‘σ(x)
存在，则称E{[X-E(X)2};
存在，则称
(4-11)
,称为标准差或均方差.
为X的方差，记为D(X)
由定义知，D(X)描述了随机变量X与其期望E(X)的偏离程度.D(X)越小，说明X的取值越集中；反之，D(X);越大，说明X的取值越分散.√D(X)同样也描述了随机变量X的偏离程度.
若X为离散型随机变量，其分布律(X=x.)(k=1,2,…),则由式(4-11)有
(4-12)
若X为连续型随机变量，其概率密度函数f为(x)·,则由式(4-11)有
(4-13)
随机变量X的方差也可以按以下公式计算：
D(X)=E(X2)-[E(X)2
(4-14)
证由数学期望的性质可知：
D(X)=E{[X-E(X)2}=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)2=E(X2)-[E(X)2
【教师】通过例题，介绍方差的求法
例1设随机变量例2设随机变量
例3设随机变量
X～(0,1)分布，求D(X)X～P(2)分布，求D(X)X~U(a,b),求D(X)
例4设随机变量X服从指数分布，其概率密度为
其中λ0,求D(X)
例5设随机变量X～N(μ,o2),求D(X)……(解析详见教材)
二、方差的性质
【教师】介绍方差的性质
假设以下讨论的随即变量的方差均存在，则随机变量的方差具有下列一些性质：
性质1设随机变量X,则对于任意常数a,b,有D(aX+b)=a2D(X)
(4-15)
证
D(aX+b)=E{[aX+b-E(aX+b)]2}
=E{[aX+b-aE(X)-b]2}
=E{a2[X-E(X)2}=a2E{[X-E(X)2}=a2D(X)推论1设b为常数，则Db)=0,即常数的方差为0.
推论2设X为随机变量，a为常数，则
D(aX)=a2D(X)
推论