关于函数逼近与计算第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n＋1个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,函数逼近就是从整体上使误差尽量的小一些。2.数学描述“对函数类A中给定的函数，要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数，使与之差在某种度量意义下最小。”第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日函数类A通常是区间上的实连续函数，记作；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。中函数的-范数定义为:-范数，它满足范数的三个性质：I），当且仅当时才有；II）对任意成立，a为任意实数；III）对任意，有第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日度量标准最常用的有两种，一种是在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近；另一种度量标准是用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近。这里符号及是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近。第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日3.维尔斯特拉斯定理用一致逼近,首先要解决存在性问题，即对上的连续函数,是否存在多项式一致收敛于？维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了下面定理：定理1设，则对任何,总存在一个代数多项式，使在上一致成立。证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换:把映射到。对给定的，构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式:其中，且这不但证明了定理1，而且给出了的一个逼近多项式。多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日§2函数平方逼近用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。若存在，使就是在上的最佳平方逼近多项式.第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日由于是关于的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件于是有(内积定义)第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日这是关于的线性方程组，称为法方程，由于线性无关，故系数行列式