苏教版2019高二数学（选修一）第三章圆锥曲线与方程3.3.1抛物线的标准方程

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结随堂检测错因分析

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)学习目标

探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．情景导入

如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．新知探究

画一条直线l和直线外一点F,在平面内，到直线l和点F距离相等的点的轨迹是什么？

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。两定点F叫做抛物线的焦点.定直线l叫做抛物线的准线.定点F在直线l上时，则动点P的轨迹是______________________。注：定点F不在直线l上.过点F且垂直于l的直线

类似于椭圆和双曲线，我们继续借助平面直角坐标系，利用解析几何研究问题的一般方法来研究抛物线，那么如何建立抛物线的方程？如何根据抛物线的方程研究抛物线的性质？

步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标设抛物线上任意一点P的坐标为(x，y)，步骤三：列等式根据抛物线定义知：PF＝d，步骤四：代入坐标

?步骤五：化简方程???类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线的4种形式:这四种方程都叫作抛物线的标准方程由上述过程可知，抛物线上的点的坐标（x，y）都满足上面这个方程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（x，y）都在已知的抛物线上．

【四种形式抛物线的对比】图形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程标准方程P：焦点到准线的距离【抛物线标准方程的特征】等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项.【小结】一次项定轴，系数正负定方向；焦点与方程同号，准线与方程异号.

?????课本例题

例2求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．解：如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形：y2＝－2p1x(p10)和x2＝－2p2y(p20)．分别将点P的坐标代入方程，故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.课本例题

??课本例题

??C课本练习

??

??

??

(4)由焦点到准线的距离为5，知p=5，当抛物线的焦点坐标在x轴上时，其标准方程为y2=10x或y2=-10x；当抛物线的焦点坐标在y轴上时，其标准方程为x2=10y或x2=-10y,综上，抛物线的标准方程为y2=10x或y2=-10x或x2=10y或x2=-10y.?

3.已知抛物线C的焦点是直线2x-3y+6=0与坐标轴的一个交点，求抛物线C的标准方程．【解析】解：直线2x-3y+6=0与x轴的交点坐标为(-3，0)，与y轴的交点坐标为(0，2)，当抛物线C的焦点为(-3，0)时，抛物线的标准方程为y2=-12x；当抛物线C的焦点为(0，2)时，抛物线的标准方程为x2=8y,综上，抛物线C的标准方程为y2=-12x或x2=8y.

4.已知直线l过点(1，2)且与抛物线y2=4x只有一个公共点，求直线l的方程．?则Δ=(-4k)2-4(8k-4)=0，即k=1，即直线l的方程为x-y+1=0，综上可得：直线l的方程为y=2或x-y+1=0．

5.已知点P在抛物线y2=2x上．(1)若点P的横坐标为2．求点P到抛物线焦点的距离；(2)若点P到抛物线焦点的距离为4．求点P的坐标．?

6.已知动点M(x.y)到点F(4，0)的距离比到直线x+5=0的距离小1．试判断点M的轨迹是什么图形．【解析】解：∵动点M(x,y)到点F(4，0)的距离比到直线x+5=0的距离小1，∴动点M(x,y)到点F(4，0)的距离与到直线x+4=0的距离相等．根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，x=-4为准线的抛物线，∴y2=16x.

易错警示求抛物线的标准方程一抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，则抛物线的方程为________．错解：由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．因为|AB|＝|2a|＝8，所以2a＝8.故所