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2025届河南省信阳市罗山县高级中学、第二高级中学高三二模联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数是实数，则（????）
A． B． C． D．2
2．已知，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
3．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（????）
A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4
C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8
4．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（????）
A． B． C．或 D．或
5．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（????）
A．1 B． C． D．
6．甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（????）种
A．6 B．10 C．18 D．36
7．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（????）
A． B． C． D．
8．设，，，，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（????）
A．，，成等比数列 B．
C．，，成等差数列 D．若，则
10．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（????）
参考公式：样本划分为层，各层的容量?平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为
C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足:，且在上单调递减，，则下列结论正确的是（?????）
A． B．
C．为奇函数 D．在定义域内单调递减
三、填空题
12．已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为.
13．已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为.
14．在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为.
??
四、解答题
15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，.
(1)若，，求的大小；
(2)若求四边形ABCD面积的最大值.
16．如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
17．某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：
每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有的概率中积分奖，有的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．
(1)若，，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；
(2)若，，X表示抽到现金奖时的抽取次数．
（ⅰ）求X的分布列（用p表示即可）；
（ⅱ）求X的数学期望．（，结果四舍五入精确到个位数）
18．已知双曲线，直线与双曲线交于两个不同的点A，B，直线与直线交于点.
(1)求证：点是线段AB的中点；
(2)若点A，B两点分别在双曲线两支上，求的面积的最小值(其中是坐标原点).
19．已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值；
(3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值.
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《2025届河南省信阳市罗山县高级中学、第二高级中学高三二模