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2025届河南省豫北六校高三下学期5月份联合模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若，，且，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（????）
A． B． C．85 D．86
4．函数的大致图象是（????）
A． B．
C． D．
5．如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（????）
A．3 B．4 C．9 D．12
6．已知抛物线的焦点为，准线为，上的点在上的投影为，直线与的另一个交点为，当时，若线段的中点到的距离为，则（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为．若a为的二项展开式中含x项的系数，且，则b的值可以是（????）
A． B． C． D．
8．定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知全集，集合，，，若，则（????）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
10．已知定义域为R的函数为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（????）
A．有三个零点
B．在处切线的斜率为
C．当时，有极大值
D．若的极小值为m，则
11．如图（1），扇形是半径为的圆的四分之一，在梯形中，，，，弧上存在一点，使，边上的点满足，连接交于点，现将梯形沿折起到，如图（2），使，则（????）
A．与为异面直线 B．平面平面
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为
三、填空题
12．函数的最小正周期为．
13．为了培养小学生的爱国情怀和民族自豪感，某小学计划于2025年10月25日邀请七位讲解员（其中有两名实习讲解员）分配到三个不同班级讲解我国航天英雄的事迹．若每班至少分配两名讲解员，且两名实习讲解员不能去同一个班，则共有种不同的分配方案．
14．已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
16．如图，在五棱台中，平面，，，，，，，．
(1)证明：平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．在某闯关游戏中，有A，B两类难度不同的关卡，已知小明通过A类关卡的概率均为，通过B类关卡的概率均为，各关卡相互独立．游戏共有两个环节，第一个环节由4个关卡组成，其中A，B难度的关卡各两个，且每个关卡的难度未知，至少闯过一关即可通过此环节，然后进入第二个环节，第二个环节可从以下三个方案中任选一个进行．
方案一：依次闯7个A类关卡，每通过一个关卡得15分，否则得0分；
方案二：依次闯7个B类关卡，每通过一个关卡得12分，否则得0分；
方案三：从4个A类关卡，5个B类关卡中随机抽取7个关卡，其中通过一个A类关卡得15分，通过一个B类关卡得12分，根据最后的得分获得相应的奖品．
(1)求小明通过第一个环节的概率．
(2)小明已通过第一个环节，进入第二个环节，从期望的角度分析，小明选择何种方案参加第二个环节更加合理?并说明理由．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右焦点与圆：的圆心重合，短轴长与圆E的半径相等．
(1)求C的方程．
(2)已知O为原点，C上的点P满足，求直线被C截得的弦长．
(3)已知C的上顶点为A，斜率为2的直线与C交于B，D两点，的中点为M，的中点为N，到直线的距离为，C的右顶点到直线的距离为，试判断是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19．若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”．
(1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由．
(2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围．
(3)设，且，证明：．
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《2025届河南省豫北六校高三下学期5