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广东省茂名市某校2024-2025学年高三临门一脚数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知，则（???）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（???）
A． B． C． D．无法确定，与有关
4．如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（???）
A． B．
C． D．
5．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（????）
A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生
6．设函数，若当时，函数取得最大值，则（???）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则（????）
A． B．
C． D．以上都不对
8．若能被整除，则的最小正整数取值为（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
9．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（????）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，众数为3
C．平均数为4，方差为1.6 D．平均数为5，标准差为2
10．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．的图象关于轴对称 B．是的一个周期
C．在上为增函数 D．
11．已知是首项为，公比为的递增等比数列，其前项和为．若对任意的，总存在，使得，则称是“可分等比数列”，则（）
A．不是“可分等比数列” B．是“可分等比数列”
C．若是“可分等比数列”，则 D．若是“可分等比数列”，则
三、填空题
12．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为．
13．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为．
14．一个四面体有五条棱的棱长为，且外接球的表面积为，则不同于这五条棱的棱的棱长为．
四、解答题
15．的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若为中点，，，求的周长.
16．已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
(1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
(2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
17．如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
(1)证明：；
(2)若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．如图，在直角坐标系中，已知是拋物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且满足.
(1)求的值；
(2)已知点，直线，与拋物线的另一个交点分别为，，直线交轴于点，交直线于点.抛物线在，处的切线交于点，过点作平行于轴的直线，分别交直线KD，于点，.
（i）求证：点为定点；
（ii）记，的面积分别为，，求的最小值.
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《广东省茂名市某校2024-2025学年高三临门一脚数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
C
B
B
C
AD
ABD
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，故.
故选：A.
2．C
【分析】对化简后，再利用模的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C
3．C
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量模长的坐标运算求.
【详解】由题，则，
所以.
故选：C
4．B
【分析】先还原几何体，然后根据三棱锥表面积的求法求得正确答案.
【详解】还原正方体如下图所示，
，，
，
所以四面体的表面积为.
故选：B
5．C
【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.
【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，
文科女生有人，文科