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湖北省2025届高三下学期新高考信息卷（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．在复平面内，对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
4．已知，则（????）
A．2 B．1 C． D．
5．已知实数，满足，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（????）
A．2 B． C． D．
7．下列函数在区间上单调递增的是（????）
A． B． C． D．
8．已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（????）
A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上
二、多选题
9．甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（????）
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
18
20
22
13
20
27
10
21
19
30
乙
3
10
20
9
24
27
13
28
9
17
A．甲的众数大于乙的众数
B．甲的平均数大于乙的平均数
C．甲的极差大于乙的极差
D．甲的60百分位数大于乙的60百分位数
10．已知函数的最小正周期为，则（????）
A． B．
C． D．
11．武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（????）
A．若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13!
B．若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13!
C．若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12!
D．若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为
三、填空题
12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是．
13．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数.
14．已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为.
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求A：
(2)若，的面积为，求的周长．
16．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点.
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值.
17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且.
(1)求数列的通项公式，并求数列的前项和.
(2)若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
(3)是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由.
18．已知函数有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)记两个极值点分别为，，证明：.
19．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆的左、右顶点，且时，允许），点是的内心（即内切圆的圆心），满足，其中，为坐标原点.
①证明：；
②若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率.
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《湖北省2025届高三下学期新高考信息卷（三）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
B
C
C
D
ABD
BCD
题号
11
答案
BD
1．C
【分析】先解一元二次不等式得出集合，再由交集的运算得到结果.
【详解】，，
故.
故选:C.
2．D
【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.
【详解】，所以对应的点位于第四象限.
故选：D
3．A
【分析】根据投影向量的定义直接得解.
【详解】在上的投影向量为，
故选：A.
4．C
【分