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上海市徐汇中学2024-2025学年高三下学期5月能力诊断数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若集合，则实数.
2．的终边在第象限．
3．i为虚数单位，则．
4．已知的展开式中项的系数为，则．
5．函数的最小正周期为．
6．某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为.
7．等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为．
8．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为.
9．某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为
10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的2倍，则双曲线的离心率为.
11．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为.
12．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是．
二、单选题
13．下列函数中，在区间上为严格增函数的是（????）
A． B． C． D．
14．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（???）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
15．在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（????）
A． B． C． D．
16．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、解答题
17．如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积.
18．设为数列的前项和，且是和8的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：.
19．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学
成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：
20．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．
(1)求的方程；
(2)证明：点在定直线上；
(3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值．
21．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）对于任意，恒成立，求的取值范围；
（3）试讨论函数的极值点的个数.
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《上海市徐汇中学2024-2025学年高三下学期5月能力诊断数学试题》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
D
D
C
B
1．2
【详解】集合，.
故答案为：.
2．三
【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可.
【