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重庆市育才中学2025届高三一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的虚部是（????）
A． B． C． D．
3．设向量且，则（????）
A．3 B．6 C． D．
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（????）
A． B． C． D．
5．米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（????）
A． B． C．1 D．
6．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，则（???）
A． B． C． D．
8．当时，曲线与的交点个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（???）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
10．已知函数，则下列说法正确的是（????）
A．函数是偶函数 B．函数是奇函数
C．函数在上为增函数 D．函数的值域为
11．已知数列满足，则（????）
A．数列为递减数列 B．
C． D．
三、填空题
12．的展开式中二项式系数的最大值为.（用数字作答）
13．函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上最大值为.
14．棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为.若，则的最小值为.
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
16．由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2020年至2024年的年销售额如下表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份编号
1
2
3
4
5
年销售额万元
30
35
45
60
80
(1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2025年该店的年销售额.
(2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表：
返现金额
50
100
概率
已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望.
附：经验回归方程中，，.
17．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若，求的取值范围.
18．如图，已知抛物线，点A在抛物线上，且在第一象限，以点A为切点作抛物线的切线l交x轴于点B，过点B作垂直于l的直线交抛物线于C，D两点，其中点C在第一象限，设与y轴交于点K．
(1)若点A的横坐标为2，求切线l的方程．
(2)连接，记的面积分别为，求的最小值．
19．已知函数（），为坐标原点．
(1)当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）若点是函数图象上一点，求的最小值；
(2)若函数图象上存在不同两点满足，求的取值范围．
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《重庆市育才中学2025届高三一模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
A
B
C
C
C
ABC
AD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】根据一元二次不等式的求解以及对数函数的定义域化简两个集合，即可由并集的定义求解.
【详解】由可得，
故，
故选：B
2．A
【分析】利用复数的除法运算，然后再求复数的虚部即可.
【详解】由，
可得，
所以的虚部是，
故选:A.
3．D
【分析】根据向量垂直的坐标关系列方程求解的值，再根据向量平行的坐标关系列方程求解的值，从而得所求.
【详解】因为向量，
所以，