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自主学习 规范表达

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一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计

【学习目标】

1．了解一元线性回归模型的含义．(重点)

2．了解最小二乘原理，能求经验回归方程．(难点)

一.独学内化

1.我们称eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E（e）＝0，D（e）＝σ2))为Y关于x的模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为参数，b称为参数；e是Y与bx＋a之间的．

2.将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，且eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).

3.求经验回归方程的一般步骤：

(1)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.

(2)计算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi.

(3)代入公式计算eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的值.

(4)写出经验回归方程.

4.若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()

A.9亿元 B.9.5亿元

C.10亿元 D.10.5亿

5.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

(1)画出散点图；

(2)求经验回归方程.

小组合学

(多选)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2026，y2026)是变量x和y的2026个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论正确的是()

A.直线l过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))

B.直线l过点(x1013，y1013)

C.x和y的样本相关系数在区间[－1，0)上

D.因为2026是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同

三.检学作业

1．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y关于x的经验回归方程为()

A.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋2

C.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝x－1

2.某地区近十年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元.

3.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，