第8章概率
8.1.3贝叶斯公式
◆教
◆教学目标
1.通过概率乘法公式，推导得出n=2时的贝叶斯公式，推广得到贝叶斯公式.
2.分析比较贝叶斯公式与全概率公式的区别与联系.
◆
◆教学重难点
教学重点：贝叶斯公式的推导.
教学难点：贝叶斯公式的应用.
◆教学过
◆教学过程
一、新课导入
回顾：当要求一件有多个因素影响的事件概率的时候，我们常会用到全概率公式，你能说出他的内容吗?
答：全概率公式：一般地，A?,A?,…,An是一组两两互斥的事件，A?UA?U…UAn=Ω,
且P(Ai)0,i=1,2,…,n,则对于任意的事件B≌Ω,有
追问：具体的，当上述n=2时的形式是怎样的?
答：P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?),其中，A?,A?互为对立事件.
二、新知探究
问题1:标号分别为1,2的两个箱子，1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得的球是红球的条件下，这个球来自1号箱子的概率是多少?
答：设事件B表示“取得红球”,事件A;表示“球取自i号箱”(i=1,2).则由概率的乘法公式可得P(A?)P(B|A?)=P(A?B)=P(B)P(A?IB)
由此可得：
由全概率公式可知：
问题2:将箱子增加到三个，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得的球是红球的条件下，这个球来自1号箱子的概率是多少?答：设事件B表示“取得红球”,事件A;表示“球取自号箱”(i=1,2).
问题3:若将箱子增加到n个，你能总结得出怎样的结论?
贝叶斯公式：设A?,A?,…,An是一组两两互斥的事件，A?UA?U…UAn=Ω,且
P(Ai)0,i=1,2,…,n,则对于任意的事件B≌Ω,P(B)0,则有
三、应用举例
例1:有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.追问：“任取一个零件，它是次品”可以表示为哪些两两互斥的事件的并?
答：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,A?=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并.
解：(1)设B=“任取一个零件为次品”,A;=“零件为第i治车床加工”(i=1,2,3),可知Q=A?UA?UA?,且A,A?,A?两两互斥.
根据题意得P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
类似的，可得
设计意图：通过例题进一步强化应用全概率公式计算概率的方法与步骤，通过问题(2)中的条件概率的计算，为引出贝叶斯公式作准备.
追问：上面的例题解答中，概率P(A;),P(A;|B)的实际意义是什么?
答：P(A;)是试验之前就已知的概率，它是第治车床加工的零件所占的比例，称为先验概率，当已知抽到的零件是次品(B发生),P(A;|B)是这件次品来自第治车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额.
四、课堂练习
在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0
时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
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