3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线

线段垂直平分线的性质(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(2)几何语言:如图所示,∵MN⊥BC于点E,且BE=CE,D是MN上任意一点,∴.?BD=CD

[例1]如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.(1)证明:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴DB=DA.∴△ABD是等腰三角形.(2)解:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,AE=6,∴AB=2AE=12,BD=AD.∵△CBD的周长为20,∴BD+CD+BC=20.∴AD+CD+BC=20,即AC+BC=20.∴△ABC的周长为AB+AC+BC=12+20=32.

新知应用1.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为()A.25° B.30° C.35° D.40°B

2.如图所示,在△ABC中,AB边的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC边的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,若△AEG的周长为8,则BC的长是()A.12B.8C.6D.4B

3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证:∠CAB=∠AED.证明:∵DE是AB边的垂直平分线,∴EA=EB,∠ADE=90°.∴∠EAB=∠B.∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.又∵∠AED+∠EAB=90°,∴∠CAB=∠AED.

线段垂直平分线的判定(1)到一条线段两个端点距离的点,在这条线段的垂直平分线上;?(2)几何语言:如图所示,因为BD=CD,所以点D在线段BC的上.相等垂直平分线

[例2]如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,求证:点D在线段AB的垂直平分线上.证明:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=90°-30°=60°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°.∴∠A=∠ABD.∴DA=DB.∴点D在线段AB的垂直平分线上.

新知应用1.如图所示,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段的垂直平分线上.?AC

2.如图所示,在△ABC中,AD垂直平分BC,点E在BC的延长线上,且满足AB+BD=DE,求证:点C在线段AE的垂直平分线上.证明:∵AD垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC,∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE.∵DE=DC+CE,∴AC=CE,∴点C在线段AE的垂直平分线上.

1.已知C,D是线段AB外的两点,AC=BC,AD=BD,点P在直线CD上,若AP=5,则BP的长为()A.2.5B.5C.10D.252.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()A.8 B.11C.16D.17BB

B

4.(2023沙坪坝月考)如图所示,在△ABC中,EF是AB的垂直平分线,AD⊥BC于点D,且D是CE的中点.(1)求证:BE=AC;(1)证明:∵EF是AB的垂直平分线,∴BE=AE.∵AD⊥BC,D是CE的中点,∴AD是EC的垂直平分线.∴AE=AC.∴BE=AC.

(2)若∠C=70°,求∠BAC的度数.

第2课时三角形三边的垂直平分线

三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于,并且这一点到三个顶点的距离.?[例1]如图所示,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.连接PB,PC,若∠ABP=40°,∠ACP=35°,则∠BPC的度数为.?一点相等150°

三角形三边垂直平分线的性质与应用性质交点个数1个交点位置锐角三角形:在三角形内部直角三角形:为斜边的中点钝角三角形:在三角形外部交点性质交点到三角形三个顶点的距离相等应用求角度、证明线段相等或作图

新知应用1.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域,如果在这个区域内修建一个公园,要使公园到三个村庄的距离相等,那么这个公园所建的位置是△ABC的()A.三条高线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点B

2.如图所示,D是线段AC,AB的垂直平分线的交点,若∠ACD=30°,∠BAD=50°,则∠BCD的大小是()A.10°B.20°C.30°D.40°A

3.(2