专题3利用顶点在同一直线上的三个相等角解决问题
1.难点分解练
核心归纳
编写说明：将此类难题的核心要点总结，结合例题加深理解，之后练综合题目易有解题思路.
类型
何时用
经典模型图
常用结论
等角为直角
题中有直角或有2个直角的顶点在一条直线上
在△ABC和△DEB中,A,B,D三点共线,共线的三个角为直角.
同侧型
异侧型
子母型
△ABC≌△DEB
△ABC∽△DEB
等角为锐角或钝角
题中有2个等角(锐角或钝角)的顶点在一条直线上(或一条直线上的一个角α的两边有数量关系，且直线上有另一个角180°?α)
在△ADB和△CEA中,A,D,E三点共线,且∠1=∠2=∠3.
同侧型
异侧型
中点型(A为ED的中点)
△ADB≌△CEA
△ADB∽△CEA
类型突破
编写说明：每类例题由浅入深设置，包含该类型的经典情况且在不同几何图形背景下，让学生先练透每个类型，抓住核心本质后再综合练习.
类型1·等角为直角
例1.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D是△ABC内一点,且AD=AB,连接BD,CD,若BD=2,求△BCD的面积.
例2.如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上方一点，DE=32,∠E=45°
类型2·等角为锐角或钝角
例3.如图，AB‖CD,,E是CB的延长线上一点,连接DE交AB于点F,连接AE,AD,若AE=2EC,∠AFE与∠AEC互补，探究CD与EF的数量关系.
例4.学难如图，∠ACB=150°,AC=BC,,D,C,E三点共线,∠ADC=75°,∠BEC=3
2.综合提升练
1.1已知四边形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF(点A，E，F按逆时针方向排列)的直角顶点E在直线BC上(不与点B,C重合),FM?AD,,交射线AD于点M.
(1)当点E在边BC上时,如图1,求证:AB+BE=AM;
(2)当点E在边CB的延长线上,点M在边AD上时,如图2.
①求线段AB,BE与AM之间的数量关系;
若BE=3
(3)若射线AF交直线BC于点N,BE=1,BN=6,求AB的长.
2.【问题初探】如图1，这个图案是公元3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.受这幅图的启发，数学兴趣小组解决了如下问题:如图2,四边形ABCD是正方形,G是边BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求AF,BF与EF之间的数量关系.
(1)请你写出求解过程；
【类比分析】
(2)老师将图2进行了变换并提出问题，请你解答.
如图3,在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在边BC上,且BD=2CD,连接AD,过点B作BF⊥AD于点F,BF的延长线交AC于点E,求AE与CE之间的数量关系;
【学以致用】
(3)如图4,在(2)的条件下,G是BC的中点,连接FC,FG.
①求证:FG⊥FC;
若FG=2
3.若四边形中存在一边的中点与其对边的两个端点连线所成的夹角与四边形的一个内角相等，则把这个四边形叫做“中角等四边形”.
(1)若矩形ABCD是“中角等四边形”，则矩形ABCD两条相邻边的比50长0是
(2)如图,若菱形ABCD是“中角等四边形”,求tanA的值;
(3)若?ABCD是“中角等四边形”,tanA=43,求
4.【模型建立】
(1)如图1,在△AFC中,∠F=α,将线段AC绕点A逆时针旋转角β得到线段AB,E为线段AF上一点,已知∠BEA=∠F=α,α+β=180°.求证:△ABE≌△CAF;
【类比应用】
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,∠D=∠BAC,过点B作BE∥CD,交DA的延长线于点E、在图中找出与AD相等的线段，并证明；
【拓展探究】
(3)如图3,直线y=3
①当CF=EF时,求点F的坐标;
是否存在点E，使△CEF的面积被y轴平分?若存在，求△CEF的面积；若不存在，请说明理由.
专题3利用顶点在同一直线上的三个相等角解决问题
例1.解：如图，过点C作CN⊥BD交BD的延长线于点N，过点A作AM⊥BD于点M、
∴∠AMB=∠N=90°.∴∠BAM+∠ABM=90°.
∵∠ABC=90°、∴∠CBN+∠ABM=90°.
∴∠BAM=∠CBN.
又∠AMB=∠N,AB=BC,
∴△ABM≌△BCN.
∴BM=CN.
∵AD=AB,AM⊥BD,BD=2,∴BM=12
∴CN=1,∴
例2.解:如图,过点D作