三角形全等的相关模型总结
类别1:角平分线模型应用
模型1:角平分性质模型：
辅助线：过点G作GE⊥射线AC
【例题详解】
①如图1,在△4BC中，∠C90°,AD平分∠CAB,BC6cm,BD4cm,那么点D到直线的距离是cm
②如图2,已知，∠1∠2,∠3∠4.求证：AP平分∠BAC
图1图2
①2(提示：作DE⊥AB交AB于点E)
②∵∠1∠2,∴PMPN,∵∠3∠4,∴PNPQ,∴PMPQ,∴PA平分∠BAC
模型2:角平分线+垂线，等腰三角形比呈现
辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EFII射线OB
【例题详解】
已知：如图2,在△4BC中，∠BAC的角平分线AD交BC于D,且ABAD,
作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：
图2
分析：此题很多同学可能想到延长线段CM,但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于ABAD,
由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.
证明：过点C作CEIIAB交AM的延长线于点E.
例题变形：如图，Z12,BACCMFBM,ANFBN.
∠为的中点，⊥于⊥于
模型3:角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B,使OBOA,从而使△OAC≌△OBC.
【例题详解】
ABCBAC60°,C40°,APBACBCP,BQABCACQ,
①、在△中，∠∠平分∠交于平分∠交于求
证：AB+BPBQ+AQ.
思路分析：
1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2)解题思路：本题要证明的是AB+BPBQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左
式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到
OD0Q,ADAQ,只要再证出BDOD就可以了。
图(1)
图(2)
②如图(3),过O作DE//BC交AB于D,交AC于E,则△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO
从而得以解决。
图(3)
③如图(4),过P作PD//BQ交AB的延长线于D,则△APD≌△APC从而得以解决。
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④如图(5),过P作PDIIBQ交AC于D,则△ABP≌△ADP从而得以解决。
图(5)
小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加
方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转
移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对
三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
②、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较
PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
【解析】PB+PCAB+AC,理由如下.
ABAEAC,EP,SASAEPACP,PEPC,AEACBEP
【解析】在上截取连结根据证得△≌△∴又△中，
BEPB-PE,BEAB-AC,∴AB-ACPB-PC
类别2:等腰直角三角形模型
模型4:在斜边上任取一点的旋转全等：
操作过程：
(1).将△ABD逆时针旋转